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2025年内蒙古（统招专升本）高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=e^xsinx在区间（0，π）内的极大值点是（）

A.x=π/2

B.x=π/4

C.x=3π/4

D.x=π

答案：B

解析：求导得到f(x)=e^xsinx+e^xcosx，令f(x)=0，解得x=π/4。又因为f(x)=e^x(cosxsinx)，代入x=π/4得f(π/4)0，所以x=π/4是极大值点。

2.设函数f(x)在x=a处可导，且f(a)=0，f(a)0，则f(x)在x=a处（）

A.极大值

B.极小值

C.拐点

D.无法确定

答案：A

解析：由于f(a)=0，f(a)0，根据二阶导数判定法则，f(x)在x=a处取得极大值。

3.定积分∫(0toπ)sin^2(x)dx的值等于（）

A.π/4

B.π/2

C.π/8

D.π/16

答案：C

解析：利用三角函数的倍角公式sin^2(x)=(1cos(2x))/2，得到∫(0toπ)sin^2(x)dx=∫(0toπ)(1cos(2x))/2dx=π/2∫(0toπ)cos(2x)/2dx=π/2(sin(2π)sin(0))/4=π/8。

4.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间。（）

A.单调增区间：(∞，1)和(2，+∞)，单调减区间：(1，2)

B.单调增区间：(1，2)，单调减区间：(∞，1)和(2，+∞)

C.单调增区间：(∞，2)，单调减区间：(2，+∞)

D.单调增区间：(1，+∞)，单调减区间：(∞，1)

答案：A

解析：求导得到f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0和x=2。根据一阶导数符号变化，得到单调增区间为(∞，1)和(2，+∞)，单调减区间为(1，2)。

5.极限lim(x→0)(sinxx)/x^3的值等于（）

A.1/6

B.1/6

C.1/3

D.1/3

答案：A

解析：利用泰勒展开sinx=xx^3/6+O(x^5)，代入原式得到lim(x→0)((xx^3/6x)/x^3)=lim(x→0)(x^3/6)/x^3=1/6。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^33x^2+4的极值点是______。

答案：x=1，x=2

2.定积分∫(0toπ)|sinx|dx的值等于______。

答案：2

3.函数f(x)=x^2e^x在x=0处的二阶导数f(0)=______。

答案：2

4.极限lim(x→∞)(1+1/x)^x的值等于______。

答案：e

5.函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的泰勒展开式为______。

答案：xx^2/2+O(x^3)

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值。

解：求导得到f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0和x=2。根据一阶导数符号变化，得到单调增区间为(∞，0)和(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。当x=0时，f(x)取得极大值4；当x=2时，f(x)取得极小值0。

2.计算定积分∫(0toπ)sin^2(x)dx。

解：利用三角函数的倍角公式sin^2(x)=(1cos(2x))/2，得到∫(0toπ)sin^2(x)dx=∫(0toπ)(1cos(2x))/2dx=π/2∫(0toπ)cos(2x)/2dx=π/2(sin(2π)sin(0))/4=π/8。

3.计算极限lim(x→0)(sinxx)/x^3。

解：利用泰勒展开sinx=xx^3/6+O(x^5)，代入原式得到lim(x→0)((xx^3/6x)/x^3)=lim(x→0)(x^3/6)/x^3=1/6。