2025年广西壮族自治区数学（理科）（专升本）考试真题及参考答案.docxVIP

2025年广西壮族自治区数学（理科）（专升本）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^33x在区间（∞，a）上是减函数，求实数a的取值范围。

A.a≤1

B.a≤2

C.a≤3

D.a≤4

答案：B

解析：f(x)=3x^23。令f(x)0，得x∈(1,1)。因为f(x)在区间（∞，a）上是减函数，所以a≤1。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，求该数列的通项公式。

A.an=4n3

B.an=4n1

C.an=4n+1

D.an=4n+3

答案：B

解析：当n=1时，a1=S1=3。当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+n)(2(n1)^2+(n1))=4n3。所以an=4n3。

3.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+b^2的最小值为（）

A.1

B.2

C.4

D.8

答案：B

解析：直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即|k0+b|/√(k^2+1)=2。化简得k^2+b^2=4k^2+4b^2/(k^2+1)。令t=k^2+b^2，得t=4t/(t+1)。解得t=4。

4.已知函数f(x)=x^2+kx+1在区间（∞，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围。

A.k≤0

B.k≥0

C.k≤2

D.k≥2

答案：A

解析：f(x)=2x+k。令f(x)≥0，得x≥k/2。因为f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，所以k≤0。

5.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵。

A.[[2,1],[3,1]]

B.[[4,2],[3,1]]

C.[[2,1],[3,2]]

D.[[4,2],[3,2]]

答案：B

解析：A的行列式为1423=2。A的伴随矩阵为[[4,2],[3,1]]。所以A的逆矩阵为1/(2)[[4,2],[3,1]]=[[2,1],[3/2,1/2]]。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=(x1)^2+1，求f(x)的极小值。

答案：1

2.若等比数列{an}的首项为2，公比为3，求该数列的前10项和。

答案：3280

3.已知直线L的斜率为2，且过点（1，3），求直线L的方程。

答案：2xy+1=0

4.已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的右焦点坐标为（c，0），求c的值。

答案：1

5.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[1,0],[0,1]]，求矩阵A与B的乘积。

答案：[[1,2],[3,4]]

三、解答题（每题20分，共60分）

1.求函数f(x)=x^33x^2+4在区间（∞，+∞）上的单调性和极值。

解答：f(x)=3x^26x。令f(x)=0，得x=0或x=2。当x0时，f(x)0，f(x)单调递增；当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增。所以f(x)在x=0处取得极大值4，在x=2处取得极小值0。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，求该数列的通项公式，并证明你的结论。

解答：当n=1时，a1=S1=3。当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+n)(2(n1)^2+(n1))=4n3。所以an=4n3。下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当n=1时，a1=3，结论成立。

（2）假设当n=k时，结论成立，即ak=4k3。

（3）当n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=(2(k+1)^2+(k+1))(2k^2+k)=4(k+1)3。

所以，当n=k+1时，结论也成立。

由（1）和（2）可知，对于任意正整数n，an=4n3。

3.已知直线L1：x+2y1=0，直线L2：2xy+3=0，求这两条直线的交点坐标，并求这两条直线所围成的三角形面积。

解答：将直线L1和L2的方程联立求解，得到交点坐标为（1，1）