2025年（整理版）初二数学寒假专题平移旋转在几何解证中的作用华东师大版.pdfVIP

太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。——《左传》

初二数学寒假专题——平移旋转在几何解证中的作用华东师大版

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

寒假专题一—平移旋转在几何解证中的作用

［主要内容］

平移旋转在几何解证中的作用

在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。

从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一局部移动到一个新的位置，构成

一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动局部图形的形状和大

小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为

简捷。

移动图形一般有三种方法：

〔1〕平移法。

〔2〕旋转法：利用旋转变换。

〔3〕对称：可利用中心对称和轴对称。

【典型例题】

例1.如下图，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的

桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。

分析：假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB

最小即可。

例2.在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的

大小关系。

分析：四条线段AB、AC、AD、AE比拟分散，可利用平移的方法将它们集中到一

起，即可求出大小关系。

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

证明：将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置

∴FB＝AE，FD＝AC

设FD与AB的交点为O

在△AOD中，AO＋OD＞AD

在△FOB中，FO＋OB＞FB

ABFDAOOBFOOD

AOODFOOB

ADFB

ABACADAE

例3.：AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比拟AC＋BD与1的大

小。

分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比拟大小。

解：ACBD1

证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE

∴四边形ABEC为平行四边形

∴AC＝BE，AB＝CE

∵∠DOB＝60°，AB∥CE

∴∠DCE＝60°

∵AB＝CD＝1

∴CE＝CD＝1

∴△DCE为等边三角形

∴DE＝1

在△DEB中，DB＋BE＞DE

即DB＋AC＞1

例4.：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明

AE＝BE＋DF的理由。

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将

其放到一个三角形中。

解：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，那么点D转到了点B的位置，点F转到了点

F的位置，根据旋转的性质得：

∠3＝∠1，FB＝FD，∠AFB＝∠AFD

∵ABCD为正方形

∴∠D＝∠ABF＝90°

∴F、B、E、C在一条