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初中数学竞赛精品及练习（18）

式的整除

一、内容提要

1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这

个整式被另一个整式整除。

2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，

那么式的整除的意义可以表示为：

若f(x)＝p(x)×q(x)，则称f(x)能被p(x)和q(x)整除

例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x+1）,

∴x2－3x－4能被（x－4）和（x+1）整除。

显然当x=4或x－1时x2－3x－4＝0，

3．一般地，若整式f(x)含有x–a的因式，则f(a)=0

反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。

4．在二次三项式中

22

若x+px+q=(x+a)(x+b)＝x+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab

在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。

二、例题

2

例1己知x－5x+m能被x－2整除，求m的值。x－3

解法一：列竖式做除法（如右）x－2x2－5x+m

由余式m－6＝0得m=6x2－2x

解法二：∵x2－5x+m含有x－2的因式－3x+m

∴以x=2代入x2－5x+m得－3x+622

－5×2＋m=0得m=6m－6

解法三：设x2－5x+m除以x－2的商是x+a(a为待定系数)

那么x22

－5x+m＝(x+a)(x－2)＝x+(a-2)x－2a

根据左右两边同类项的系数相等，得

a−2=−5a=−3



解得（本题解法叫待定系数法）

−2a=mm=6



4322

例2己知:x－5x+11x+mx+n能被x－2x+1整除

求：m、n的值及商式

解：∵被除式＝除式×商式（整除时余式为0）

∴商式可设为x2+ax+b

43222

得x－5x+11x+mx+n＝（x－2x+1）（x+ax+b）

432

＝x+(a-2)x+(b+1-2a)x+(a-2b)x+b

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式的整除

1.Contentsummary

1．Definition:Iftheiento