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2025年黑龙江（专升本）高数二考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在区间（0，+∞）内（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：A

解析：求导数f(x)=e^x2，当x0时，e^x2，所以f(x)0，故f(x)在区间（0，+∞）内单调递增。

2.设函数y=f(x)在x=a处的切线方程为yb=k(xa)，其中k为切线斜率，以下说法正确的是（）

A.k=f(a)

B.k=f(a)

C.k=f(a)

D.k=f(x)

答案：A

解析：根据导数的几何意义，函数在某一点的切线斜率等于该点处的导数值，即k=f(a)。

3.若函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且f(x)0，则函数y=f(x)在区间（a，b）内（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：A

解析：根据导数的单调性定理，若f(x)0，则函数y=f(x)在区间（a，b）内单调递增。

4.设函数y=f(x)在区间（a，b）内连续，且f(x)0，以下结论正确的是（）

A.f(x)在区间（a，b）内单调递增

B.f(x)在区间（a，b）内单调递减

C.f(x)在区间（a，b）内存在最大值

D.f(x)在区间（a，b）内存在最小值

答案：D

解析：由于f(x)0，所以f(x)在区间（a，b）内存在最小值。

5.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在x=1处的切线方程（）

A.y1=3(x1)

B.y1=3(x1)

C.y+1=3(x1)

D.y+1=3(x1)

答案：A

解析：求导数f(x)=3x^26x，将x=1代入得f(1)=3，所以切线方程为y1=3(x1)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数y=f(x)在x=a处的切线方程为yb=k(xa)，则k的值为______。

答案：f(a)

7.若函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且f(x)0，则函数y=f(x)在区间（a，b）内的单调性为______。

答案：单调递增

8.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在x=1处的切线斜率为______。

答案：3

9.若函数f(x)在区间（a，b）内连续，且f(x)0，则f(x)在区间（a，b）内存在______。

答案：最大值

10.设函数y=f(x)在x=a处的切线方程为yb=k(xa)，其中k为切线斜率，则b的值为______。

答案：f(a)

三、解答题（每题25分，共75分）

11.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在x=1处的切线方程。

解：求导数f(x)=3x^26x，将x=1代入得f(1)=3，所以切线方程为y1=3(x1)。

12.设函数f(x)=e^x2x，证明：f(x)在区间（0，+∞）内单调递增。

解：求导数f(x)=e^x2，当x0时，e^x2，所以f(x)0，故f(x)在区间（0，+∞）内单调递增。

13.设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且f(x)0，证明：f(x)在区间（a，b）内单调递增。

解：根据导数的单调性定理，若f(x)0，则函数y=f(x)在区间（a，b）内单调递增。