2025年黑龙江（专升本）高等数学考试真题及参考答案.docxVIP

2025年黑龙江（专升本）高等数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=0，f(b)=1，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间(a,b)内单调递增

B.f(x)在区间(a,b)内单调递减

C.f(x)在区间(a,b)内一定有极值点

D.f(x)在区间(a,b)内可能有极值点

答案：D

解析：由题意可知，f(x)在区间[a,b]上连续，且两端点函数值不同，因此f(x)在区间(a,b)内可能有极值点。但无法判断其单调性。

2.函数y=2x^33x^2+4在x=1处的极值是（）

A.0

B.1

C.2

D.1

答案：C

解析：首先求导数y=6x^26x。令y=0，得x=0或x=1。当x0时，y0；当0x1时，y0；当x1时，y0。所以x=1是极值点，代入原函数得y(1)=2。

3.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的拐点坐标为（）

A.(1,5)

B.(2,3)

C.(3,1)

D.(4,3)

答案：B

解析：求导数f(x)=3x^212x+9，二阶导数f(x)=6x12。令f(x)=0，得x=2。当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0。所以x=2是拐点，代入原函数得f(2)=3。

4.定积分∫(0to1)(x^2+1)dx的值为（）

A.1/3

B.1/2

C.2/3

D.3/2

答案：C

解析：将积分式拆分为两部分：∫(0to1)x^2dx+∫(0to1)1dx。计算得：1/3+1=2/3。

5.若行列式|A|=3，则行列式|2A|=（）

A.6

B.12

C.18

D.24

答案：B

解析：行列式的性质：|kA|=k^n|A|，其中k为常数，n为矩阵的阶数。本题中，|2A|=2^2|A|=43=12。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^22x+1在x=1处的切线方程为_________。

答案：y=1

解析：求导数f(x)=2x2。切线斜率为f(1)=0。过点(1,0)的切线方程为y=0x+b，代入点(1,0)得b=0。所以切线方程为y=1。

2.函数y=e^x在x=0处的二阶导数为_________。

答案：1

解析：求导数y=e^x，二阶导数y=e^x。代入x=0得y(0)=1。

3.定积分∫(0toπ)sin(x)dx的值为_________。

答案：2

解析：sin(x)在[0,π]区间内关于x=π/2对称，所以∫(0toπ)sin(x)dx=2∫(0toπ/2)sin(x)dx=2(cos(x)|(0toπ/2))=2。

4.矩阵A=[1,2;3,4]的行列式值为_________。

答案：2

解析：计算行列式|A|=1423=2。

5.若矩阵A=[1,2;3,4]的逆矩阵为B，则矩阵B的行列式值为_________。

答案：1/2

解析：矩阵A的行列式|A|=2，所以|B|=1/|A|=1/2。但行列式值为正数，所以|B|=1/2。

三、解答题（共50分）

1.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间、极值及其坐标。

解：求导数f(x)=3x^26x。令f(x)=0，得x=0或x=2。当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0。所以f(x)在(∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减。代入原函数得极值点坐标为(0,4)和(2,2)。

2.（15分）计算定积分∫(0to2π)sin(x)dx。

解：sin(x)在[0,2π]区间内关于x=π对称，所以∫(0to2π)sin(x)dx=2∫(0toπ)sin(x)dx=2(cos(x)|(0toπ))=4。

3.（20分）求解线性方程组：

3x+2yz=1

2xy+3z=2

x+3y2z=0

解：将方程组写成增广矩阵形式，进行初等行变换：

[3,2