2025年内蒙古自治区（统招专升本）高数二考试试题及答案.docxVIP

2025年内蒙古自治区（统招专升本）高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^36x+9，则f(1)等于（）

A.3

B.0

C.3

D.6

答案：C

解析：f(x)=3x^26，所以f(1)=31^26=36=3。

2.函数y=x^2e^x在x=0处的极值点是（）

A.极大值点

B.极小值点

C.拐点

D.无极值点

答案：B

解析：y=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)，y(0)=0，y=(2+x)e^x+xe^x=(3+x)e^x。因为y(0)=30，所以x=0处是极小值点。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)0，f(b)0，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间[a,b]内至少有一个零点

B.f(x)在区间[a,b]内至多有一个零点

C.f(x)在区间[a,b]内没有零点

D.无法确定f(x)在区间[a,b]内的零点个数

答案：A

解析：根据零点定理，如果函数在区间[a,b]上连续，且两端点的函数值异号，则至少存在一个零点。

4.设a为常数，则下列函数中奇函数是（）

A.y=a^x

B.y=ax^3

C.y=a|x|

D.y=a+x

答案：B

解析：奇函数满足f(x)=f(x)，只有y=ax^3满足这个条件。

5.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的逆矩阵A^(1)等于（）

A.[[4,2],[3,1]]

B.[[1,2],[3,4]]

C.[[2,1],[3,4]]

D.[[2,1],[3,4]]

答案：A

解析：根据矩阵的逆矩阵公式，A^(1)=(1/|A|)adj(A)，其中|A|为矩阵A的行列式，adj(A)为矩阵A的伴随矩阵。计算得|A|=1423=2，adj(A)=[[4,2],[3,1]]，所以A^(1)=(1/(2))[[4,2],[3,1]]=[[2,1],[3,4]]。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=e^x在x=0处的导数值为______。

答案：1

2.函数y=x^33x+2在x=1处的极大值是______。

答案：0

3.一元函数f(x)在x=a处的极值点，当f(a)=0且______。

答案：f(a)0

4.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是______。

答案：λ1=5，λ2=1

5.定积分∫(从0到π)sin(x)dx的值是______。

答案：2

三、解答题（每题25分，共75分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)=3x^26x=3x(x2)，单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。f(0)=4，f(2)=4，所以f(x)在x=0和x=2处均取得极值，且为极大值。

2.计算定积分∫(从0到π)xcos(x)dx。

答案：∫(从0到π)xcos(x)dx=[xsin(x)]_0^π∫(从0到π)sin(x)dx=πsin(π)0[cos(x)]_0^π=0(11)=2。

3.求矩阵A=[[2,1],[1,2]]的特征值和特征向量。

答案：特征值为λ1=1，λ2=3。对于λ1=1，解得特征向量k1=[1,1]；对于λ2=3，解得特征向量k2=[1,1]。