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2025年广东省专升本数学（理科）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.f(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减

D.f(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增

答案：D

解析：求导数f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。因此，f(x)在(∞,1)和(1,+∞)内单调递增，在(1,1)内单调递减。

2.设a是方程x^36x+9=0的一个实根，则方程x^33ax+2a=0的实根是（）

A.2

B.3

C.6

D.9

答案：A

解析：将a代入方程x^36x+9=0，得a^36a+9=0。将a代入x^33ax+2a，得a^33a^2+2a=0。将a=2代入检验，得2^33×2^2+2×2=0，满足方程。因此，方程x^33ax+2a=0的实根是2。

3.设函数y=f(x)在x=1处有极大值，且f(1)=0，f(1)=2，则f(x)在x=1附近的图形是（）

A.向上凸

B.向下凸

C.向左凸

D.向右凸

答案：B

解析：由于f(1)=0，说明x=1是函数的驻点。又因为f(1)=20，说明函数在x=1处向下凸。

4.设函数f(x)=(x1)^2+(x+1)^2，则f(x)的最小值是（）

A.0

B.1

C.2

D.4

答案：C

解析：f(x)=(x1)^2+(x+1)^2=2x^2+2。因为x^2≥0，所以2x^2≥0，所以f(x)≥2。当x=0时，f(x)取得最小值2。

5.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=30，则公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：根据等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，得S5=5/2(2a1+4d)=15，S10=10/2(2a1+9d)=30。联立两个方程，解得d=2。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=2x^33x^2+4x+1，则f(1)=_______。

答案：0

7.设函数f(x)=x^2+k在区间(0,+∞)内单调递增，则实数k的取值范围是_______。

答案：k≤0

8.设等差数列{an}的公差为d，若a3=5，a6=11，则d=_______。

答案：2

9.设函数y=f(x)在x=2处有极小值，且f(2)=0，f(2)=3，则f(x)在x=2附近的图形是_______。

答案：向上凸

10.若函数f(x)=x^33x+1在区间(1,3)内有两个零点，则实数a的取值范围是_______。

答案：1a3

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数f(x)=x^33x+1在区间[2,2]内的最大值和最小值。

答案：最大值为3，最小值为1。

解析：求导数f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。计算f(2)=1，f(1)=3，f(1)=1，f(2)=3。因此，f(x)在区间[2,2]内的最大值为3，最小值为1。

12.（本题10分）设函数f(x)=x^2+k在区间(0,+∞)内单调递增，求实数k的取值范围。

答案：k≤0。

解析：求导数f(x)=2x。因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增，所以f(x)0，即2x0。解得x0。因为x0，所以k≤0。

13.（本题15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=30。求公差d及首项a1。

答案：d=2，a1=1。

解析：根据等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，得S5=5/2(2a1+4d)=15，S10=10/2(2a1+9d)=30。联立两个方程，解得d=2，a1=1。

14.（本题15分）已知函数f(x)=x^33x+1在区间(1,