第17讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第17讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）

题型目录一览

①象限角和终边相同的角

②扇形弧长和面积公式

③三角函数的定义

④判断三角函数值的符号

★【文末附录-任意角和弧度制及三角函数的概念思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、三角函数基本概念

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

(4)象限角的集合表示方法：

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

(2)角度制和弧度制的互化：,,．

(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．

3．任意角的三角函数

(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．

(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，

三角函数的性质如下表：

三角函数

定义域

第一象限符号

第二象限符号

第三象限符号

第四象限符号

＋

＋

－

－

＋

－

－

＋

＋

－

＋

－

记忆口诀INCLUDEPICTURE\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIFINETINCLUDEPICTURE\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIFINET:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一象限角和终边相同的角

策略方法

1．象限角的两种判断方法

图象法

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角

转化法

先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角

2．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤

(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．

(2)两边同除以n或乘以n．

(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．

【典例1】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.

【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；

对于C，因为与是终边相同的角，

故与角的终边相同的角可表示为，C正确；

对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，

故选：C

【典例2】已知角第二象限角，且，则角是（）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．

【详解】因为角第二象限角，所以，

所以，

当是偶数时，设，则，

此时为第一象限角；

当是奇数时，设，则，

此时为第三象限角.；

综上所述：为第一象限角或第三象限角，

因为，所以，所以为第三象限角．

故选：C

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）下列各角中与角的终边相同的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出与角的终边相同的角为，选出正确答案.

【详解】与角的终边相同的角为，

当时，，B正确；

经验证，其他三个选项均不合要求.

故选：B

2．（2023·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则是（????）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角

【答案】C

【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.

【详解】因为是第三象限角，所以，

所以，

当为偶数时，是第一象限角，

当为奇数时，是第三象限角.

故选：C．

3．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据若终边相同，则求解.

【详解】解：

??，由图知，

角的取值集合为:

故选：D.

【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（????）

A．第一象限或第