2019年6单元变量分离的方程.pdfVIP

第6单元变量分离的方程

一.教学目标

1.进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。

2．对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。

二.知识点

1.分离变量法

三.教学重点难点

、

对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点

考虑微分方程

P(x,y)dxQ(x,y)dy0（2.2.1）

P(x,y)和Q(x,y)xy

若函数均可分别表示为的函数与的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的

方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：

X(x)Y(y)dxX(x)Y(y)dy0（2.2.2）

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P(x,y)和Q(x,y)xy

变量分离的方程的特点是：可以分别表示为的函数与的函数的乘积.

问题是：对（2.2.2）如何求解？

一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：

X(x)dxY(y)dy0（2.2.3）

（2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为



X(x)dxY(y)dyC（2.2.4）

由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当X(x)Y(y)0时，若用因子X(x)Y(y)去除（2.2.2）式

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的两侧，得到

X(x)Y(y)

dxdy0（2.2.5）

X(x)Y(y)

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这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为

X(x)dxY(y)dyC（2.2.6）

X(x)Y(y)

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附注1：当X(x)Y(y)0时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时

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方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的.

附注2：若xa（或yb）是方程X(x)0（或Y(y)0）的一个根，把它代入（2.2.2）式验

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证，可知xa（或yb）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有

时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上.

例1求解微分方程

(x21)(y21)