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中学生数学应用题解决策略及练习

数学应用题是中学数学学习的重要组成部分，它不仅考察学生对数学知识的掌握程度，更检验其运用数学思想和方法解决实际问题的能力。许多学生在面对应用题时，常常感到无从下手，究其原因，主要是缺乏系统的解题策略和有效的思维训练。本文将结合中学数学的特点，探讨应用题解决的一般策略，并辅以典型练习，旨在帮助中学生提升应用题的解题能力。

一、数学应用题解决的核心策略

解决数学应用题，如同解开一个复杂的谜题，需要耐心、细致和正确的方法。以下策略并非孤立存在，而是一个有机的整体，在实际解题中需灵活运用、融会贯通。

（一）理解题意：审题是前提

审题是解题的第一步，也是最关键的一步。很多学生在解题时急于求成，往往粗略读题便开始列式计算，从而导致理解偏差，答非所问。

1.通读与圈点：首先通读全题，了解题目讲述的是一个什么情境，涉及哪些事物。然后逐句细读，圈点出题目中的关键信息，如已知数据、未知量（通常是“求什么”）、以及表示数量关系的关键词句（如“一共”、“比……多/少”、“是……的几倍”、“平均每”、“增加到”、“减少了”等）。

2.明确已知与未知：将题目中的已知条件和要求解的问题清晰地分离开来，最好能在草稿纸上简单罗列。对于一些较为复杂的问题，可以尝试用自己的语言复述题意，确保理解无误。

3.挖掘隐含条件：有些应用题的条件并非直接给出，而是隐含在文字描述或生活常识中。例如，行程问题中“相遇”意味着路程之和等于总距离；“追及”意味着路程之差等于初始距离。几何问题中，图形的性质（如三角形内角和、圆的对称性等）也可能是重要的隐含条件。

4.绘制示意图：对于行程问题、工程问题、几何图形问题等，画出清晰的示意图往往能使抽象的文字信息变得直观形象，帮助我们快速找到数量之间的关系。例如，用线段图表示路程，用矩形表示工作总量等。

（二）分析数量关系：建模是关键

理解题意之后，核心任务是分析题目中各个量之间的内在联系，将实际问题转化为数学模型，这是解决应用题的“桥梁”。

1.寻找等量关系：等量关系是列方程（组）或不等式（组）的依据。常见的等量关系可以从以下几个方面入手：

*题目中的关键语句：如“甲的数量等于乙的数量加上丙的数量”、“A的工作效率是B的1.5倍”等。

*基本的数量关系公式：如路程=速度×时间，工作量=工作效率×工作时间，总价=单价×数量，利润=售价-成本，利息=本金×利率×时间等。这些是解决特定类型应用题的基础。

*不变量：在一些变化过程中，往往存在某些不变的量，抓住这些不变量可以建立等量关系。例如，溶液稀释或浓缩过程中溶质的质量不变。

2.确定变量与常量：明确哪些量是已知的常量，哪些量是未知的变量，以及变量之间是如何相互影响的。

3.选择合适的数学模型：根据分析出的数量关系，选择合适的数学模型，如方程（一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等）、不等式、函数等。对于一些简单问题，也可能直接用算术方法解决。

（三）寻求解决方案：列式与求解是核心

在建立了数学模型之后，就进入了具体的求解阶段。

1.设元：根据问题的需要，合理设出未知数。设元的方法有直接设元（问什么设什么）和间接设元（当直接设元列方程困难时，设与所求量相关的其他量为未知数）。设元时要注明单位。

2.列方程（组）或算式：根据找到的等量关系，将文字语言转化为数学符号语言，列出方程（组）或算式。这一步要确保式子的准确性，单位要统一。

3.求解：运用相应的数学知识和方法求解方程（组）或进行算术运算。计算过程要仔细，步骤要规范，确保结果的正确性。解方程组时要注意消元法的合理运用，解一元二次方程时要注意选择合适的解法（因式分解法、配方法、公式法）。

（四）检验与反思：确保正确性与优化思路

求出结果并不意味着解题的结束，检验与反思是保证解题质量、提升解题能力的重要环节。

1.检验解的合理性：

*代入检验：将解得的结果代入原方程（组），看是否满足方程，确保解方程过程无误。

*实际意义检验：检查所求结果是否符合实际问题的情境和意义。例如，人数不能为负数或小数（在特定情况下需取整数），时间不能为负等。如果结果不符合实际，要重新检查审题、分析或计算过程。

2.反思解题过程：

*解法是否最优：是否有更简便的解题方法？

*思路是否清晰：回顾整个解题思路，看是否流畅自然，哪个环节是关键，哪个环节容易出错。

*总结规律与技巧：对于同一类型的题目，总结其共性的解题规律和技巧，以便下次遇到类似问题时能迅速找到突破口。

二、典型应用题分类练习与解析

以下选取几种中学阶段常见的应用题类型进行练习，并提供简要的分析思路，帮助同学们巩固所学策略。

（一）行程问题

行程