第1章 复数与复变函数数学物理方程.pptVIP

双曲函数性质1.以2πi为周期2.与正弦函数、余弦函数的关系第30页，共47页，星期日，2025年，2月5日补充第31页，共47页，星期日，2025年，2月5日根式函数注意根式函数是多值函数设第32页，共47页，星期日，2025年，2月5日对数函数性质1设第33页，共47页，星期日，2025年，2月5日复变函数论第1章复数与复变函数AllRightsReservedbyCDUT.第1章复数与复变函数数学物理方程第1页，共47页，星期日，2025年，2月5日数学物理方法复变函数论数学物理方程第2页，共47页，星期日，2025年，2月5日参考书目：1.数学物理方程讲义（第三版），姜尚礼，高教版2.数学物理方程，陈才生，东南大学出版社3.数学物理方程，王明新，清华大学出版社4.数学物理方程，吴崇试，北京大学出版社5.数学物理方程（第二版），谷超豪，高等教育出版社6.数学物理方法（第3版），梁昆淼，高等教育出版社7.数学物理方法（2009），闫桂峰，高等教育出版社还可参阅其它有关《复变函数》、《积分变换》的书籍。第3页，共47页，星期日，2025年，2月5日第一章复数与复变函数§1.1复数和复平面的基本概念§1.2复平面区域与边界的定义§1.3初等复变函数§1.4复变函数的极限和连续性第一篇复变函数论第4页，共47页，星期日，2025年，2月5日§1.1复数和复平面的基本概念复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2，当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz2共轭复数z=x－iy复数不能比较大小第5页，共47页，星期日，2025年，2月5日复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角或关系：主幅角第6页，共47页，星期日，2025年，2月5日第7页，共47页，星期日，2025年，2月5日欧拉公式：z=ρ(cosθ+isinθ)z=ρexp(iθ)注意两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ第8页，共47页，星期日，2025年，2月5日复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=ρ(cosθ+isinθ)指数表示：z=ρexp(iθ)第9页，共47页，星期日，2025年，2月5日复数的运算设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2第10页，共47页，星期日，2025年，2月5日乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加第11页，共47页，星期日，2025年，2月5日除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减第12页，共47页，星期日，2025年，2月5日乘方运算设第13页，共47页，星期日，2025年，2月5日开方运算设（k＝0，1，2，…，n-1，n为自然数）上式中k每取一值对应一根，共有n个根。第14页，共47页，星期日，2025年，2月5日共轭运算补充：第15页，共47页，星期日，2025年，2月5日例1.1计算复数解：所以（k＝0，1，2），对应三个根第16页，共47页，星期日，2025年，2月5日例1.2试利用复数证明三角形的内角和等于π证明：如图所以第17页，共47页，星期日，2025年，2月5日课堂练习第18页，共47页，星期日，2025年，2月5日§1.2复平面区域与边界的定义定义1：邻域δ-领域：满足条件|z-z0|δ的所有复数的集合。记为δ-去心邻域：满足条件0|z-z0|δ的所有复数的集合。|z-z0|δ0|z-z0|δz0δz0δ第19页，共47页，星期日，2025年，2月5日定义2：开集设E为一平面点集，z0∈E，并且存在δ0，使得那么称z0为E的内点。Ez0如果E内的每一个点都是它的内点，那么称E为开集。第20页，共47页，星期日，2025年，2月5日定义3：区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。定义4：边界和闭区域设D为复平面上的一个区域，如果点p不属于D，但是在p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界。区域