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2025年北京市高数二（专升本）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在x=0处的极值为（）

A.极大值1

B.极小值1

C.极大值2

D.极小值2

答案：B

解析：f(x)=e^x2，令f(x)=0，解得x=ln2。f(x)=e^x，f(0)=10，所以x=0处为极小值点，极小值为f(0)=1。

2.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调递增区间。（）

A.(∞,2]

B.[2,+∞)

C.(∞,1]

D.[1,+∞)

答案：D

解析：f(x)=3x^212x+9，令f(x)0，解得x1或x3。所以f(x)在(∞,1]和[3,+∞)上单调递增。

3.设函数f(x)=x^2sinx，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)。（）

A.f^(n)(x)=(x^2+2n)sinx+2nx^2cosx

B.f^(n)(x)=(x^2+n)sinx+2nx^2cosx

C.f^(n)(x)=(x^2+2n)sinx+2nx^2cosx+n^2sinx

D.f^(n)(x)=(x^2+n)sinx+2nx^2cosx+n^2sinx

答案：A

解析：f(x)=2xsinx+x^2cosx，f(x)=2sinx+4xcosxx^2sinx，以此类推，可以得到f^(n)(x)=(x^2+2n)sinx+2nx^2cosx。

4.设函数f(x)=ln(x+1)，求f(x)的反函数及其定义域。（）

A.y=e^x1，定义域为x0

B.y=e^x1，定义域为x0

C.y=e^x1，定义域为x≥0

D.y=e^x1，定义域为x≤0

答案：C

解析：f(x)=1/(x+1)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增。设y=f(x)，则x=e^y1，所以f(x)的反函数为y=e^x1，定义域为x≥0。

5.设函数f(x)=x^3+3x^22x+1，求f(x)的拐点。（）

A.(1,3)

B.(1,0)

C.(1,0)

D.(1,3)

答案：C

解析：f(x)=3x^2+6x2，f(x)=6x+6，令f(x)=0，解得x=1。f(x)在x=1处由正变负，所以(1,0)是f(x)的拐点。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^33x^2+4x+1，求f(x)在x=1处的切线方程为______。

答案：y=2x1

解析：f(x)=3x^26x+4，f(1)=1，f(1)=3。切线方程为y3=1(x1)，即y=2x1。

7.设函数f(x)=e^xsinx，求f(x)的一阶麦克劳林公式展开式为______。

答案：f(x)=x+1

解析：f(x)=e^xsinx+e^xcosx，f(0)=0，f(0)=1。所以f(x)的一阶麦克劳林公式展开式为f(x)=f(0)+f(0)x=0+1x=x+1。

8.设函数f(x)=x^2+3x+2，求f(x)的不定积分______。

答案：F(x)=(1/3)x^3+(3/2)x^2+2x+C

解析：f(x)的不定积分为F(x)=∫(x^2+3x+2)dx=(1/3)x^3+(3/2)x^2+2x+C。

9.设函数f(x)=2x^33x^2+x1，求f(x)的定积分（从0到2）______。

答案：5

解析：∫(2x^33x^2+x1)dx（从0到2）=[(1/2)x^4(x^3/3)+(1/2)x^2x]（从0到2）=5。

10.设函数f(x)=sinx+cosx，求f(x)的周期______。

答案：2π

解析：f(x)的周期为T，满足f(x+T)=f(x)。所以sin(x+T)+cos(x+T)=sinx+cosx，解得T=2π。

三、解答题（每题25分，共50分）

11.设函数f(x)=x^33x^2+4x+1，求f(x)的单调区间、极值点和极值。

答案：

单调递增区间：(1,+∞)

单调递减区间：(∞,1