多元复合函数全导数定理及公式推导.pdfVIP

§8.5多元复合函数微分法

8.5.1全导数

u(x)v(x)x

定理1若函数及都在点可导，

函数zf(u,v)在对应点(u,v)处可微，则复合函数

zf[(x),(x)]x

在点可导，且

dzzduzdv

+（全导数）。①

dxudxvdx

xxuvuv

证明：给以增量，则、得相应的增量、，

从而zf(u,v)有全增量zf(u+u,v+v)−f(u,v)，

∵zf(u,v)在(u,v)处可微，

zz22

∴zu+v+o()，其中(u)+(v)。

uv

u(x)v(x)x

∵、都在点可导，

u(x)v(x)x

∴、都在点必连续，

即当x→0时，u→0，v→0，从而lim0。

x→0

∵zzu+zv+o()

xuxvxx

而limo()limo()

x→0xx→0x

o()u2v2

limlim[()+()]

x→0x→0xx

du2dv2

0[()+()]0，

dxdx

zzuzvo()

∴limlim()+lim()+lim，

x→0xx→0uxx→0vxx→0x

dzzduzdv

即+。