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2025年专升本青海省高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的零点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。因此，f(x)的零点个数为2。

2.设函数y=2e^x+3lnx，求y，则y的值为（）

A.2e^x

B.4e^x

C.2e^x+6/x

D.4e^x6/x^2

答案：D

解析：y=2e^x+3/x，y=2e^x3/x^2。

3.设函数y=sin(xπ/4)，则y在区间[0,π]内的最大值为（）

A.1

B.√2/2

C.√2

D.1

答案：C

解析：sin(xπ/4)=cos(π/4x)。在区间[0,π]内，cos(π/4x)的最大值为1，当x=π/4时取得。因此，y的最大值为√2。

4.设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在x=1处的切线方程（）

A.y=2x+2

B.y=2x+3

C.y=4x+2

D.y=4x+3

答案：A

解析：f(x)=2x+2，f(1)=2。切线方程为y2=f(1)(x+1)，即y=2x+2。

5.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的极值点（）

A.x=2

B.x=1

C.x=0

D.x=2

答案：B

解析：f(x)=(2x+x^2)e^x。令f(x)=0，得x=2或x=1。当x=1时，f(x)取得极大值。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的拐点坐标为______。

答案：(1,3)

解析：f(x)=6x，f(1)=6。拐点坐标为(1,f(1))，即(1,3)。

7.设函数y=2e^x+3lnx，求y|x=1=______。

答案：5

解析：y=2e^x+3/x，y|x=1=2e+3。

8.设函数y=sin(xπ/4)，求y在x=π/4处的切线斜率k=______。

答案：1

解析：y=cos(π/4x)，y(π/4)=cos(π/4π/4)=1。

9.设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在x=1处的切线方程为______。

答案：y=2x+2

解析：f(x)=2x+2，f(1)=2。切线方程为y2=f(1)(x+1)，即y=2x+2。

10.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的极值点为______。

答案：x=1

解析：f(x)=(2x+x^2)e^x。令f(x)=0，得x=2或x=1。当x=1时，f(x)取得极大值。

三、解答题（每题25分，共75分）

11.设函数f(x)=x^33x+1，证明：f(x)在区间[2,2]上至少有一个零点。

证明：f(2)=5，f(2)=5。由零点定理，f(x)在区间[2,2]上至少有一个零点。

12.设函数y=2e^x+3lnx，求y的单调区间。

解：y=2e^x+3/x。令y0，得x0；令y0，得x0。因此，y在(0,+∞)上单调递增，在(∞,0)上单调递减。

13.设函数y=sin(xπ/4)，求y在区间[0,π]内的最大值和最小值。

解：y在x=π/4处取得最大值√2；在x=3π/4处取得最小值√2。