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2025年专升本吉林数学练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^33x+1在x=a处取得极值，则a的取值为（）

A.1

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：首先求f(x)的导数f(x)=3x^23。令f(x)=0，得到x=1或x=1。再求二阶导数f(x)=6x，当x=1时，f(1)=60，所以x=1是f(x)的极小值点；当x=1时，f(1)=60，所以x=1是f(x)的极大值点。故选B。

2.设函数y=f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间(a,b)内单调递增

B.f(x)在区间(a,b)内单调递减

C.f(x)在区间(a,b)内至少有一个极值点

D.f(x)在区间(a,b)内无极值点

答案：C

解析：根据罗尔定理，若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0。因此，f(x)在区间(a,b)内至少有一个极值点。故选C。

3.已知幂级数Σ(∞,n=0)a_nx^n的收敛半径为R，则幂级数Σ(∞,n=0)a_nx^(n+1)的收敛半径为（）

A.R

B.2R

C.R/2

D.2R/3

答案：C

解析：幂级数的收敛半径R与它的通项系数a_n有关，若将幂级数的通项改为a_nx^(n+1)，则其收敛半径变为R/2。故选C。

4.设矩阵A为3阶方阵，且满足A^32A^2+3A4E=0，其中E为单位矩阵，则矩阵A的行列式值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：A

解析：由A^32A^2+3A4E=0，得A(A^22A+3E)=4E，即A^22A+3E=4A^(1)。两边取行列式得|A^22A+3E|=4|A^(1)|。由于|A^22A+3E|=|A|^22|A|+3，且|A^(1)|=1/|A|，所以|A|^22|A|+3=4/|A|。解得|A|=1。故选A。

5.在空间直角坐标系中，直线L：x2y+z=0与平面π：x+y2z=3所成的角为（）

A.π/6

B.π/4

C.π/3

D.π/2

答案：B

解析：直线的方向向量为s={1,2,1}，平面的法向量为n={1,1,2}。直线与平面的夹角θ满足cosθ=|s·n|/(|s|·|n|)。计算得cosθ=|1×1+(2)×1+1×(2)|/(√(1^2+(2)^2+1^2)×√(1^2+1^2+(2)^2))=√2/3。所以θ=arccos(√2/3)≈π/4。故选B。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=2x^33x^2+4x1在x=2处的二阶导数值为______。

答案：5

解析：首先求f(x)的一阶导数f(x)=6x^26x+4，再求二阶导数f(x)=12x6。将x=2代入得f(2)=12×26=186=12。

7.若函数y=f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，f(x)在区间(a,b)内至少存在一点c，使得______。

答案：f(c)=0

解析：根据罗尔定理，若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0。

8.设矩阵A为3阶方阵，且满足A^23A+2E=0，其中E为单位矩阵，则矩阵A的特征值为______。

答案：1,2

解析：由A^23A+2E=0，得A(A3E)=2E，即A3E=2A^(1)。两边取行列式得|A3E|=2|A^(1)|。由于|A3E|=|A|^23|A|+2，且|A^(1)|=1/|A|，所以|A|^23|A|+2=2/|A|。解得|A|=1。矩阵A的特征方程为|AλE|=0，即(1λ)(λ2)=0。解得λ=1,2。

9.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)到直线L：xy+z=0与平面π：2x+3y4z=5所成的角为______。

答案：arc