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大学理论力学习题

理论力学作为工科学生重要的专业基础课，其核心在于培养学生分析和解决工程实际中力学问题的能力。习题练习则是巩固理论知识、提升解题技巧的关键环节。本文精选若干具有代表性的理论力学习题，并辅以细致的分析与解答思路，旨在帮助同学们深化理解，掌握要领。

一、静力学篇

静力学主要研究物体在力系作用下的平衡条件。解决此类问题的关键在于正确选择研究对象，进行受力分析，并合理应用平衡方程。

（一）物体的受力分析与平衡方程应用

例题1：图示平面构架由杆AB、BC和CD铰接而成，A端为固定铰支座，D端为可动铰支座。在杆BC的中点E处作用一铅垂向下的力F。各杆自重不计，试求A、D两处的约束力以及杆AB在铰链B处的受力。

分析与解答思路：

首先，对于复杂构架问题，通常先考虑整体平衡，求得部分未知力。取整体为研究对象，其受力包括主动力F和A、D处的约束力。A处固定铰支座有水平和竖向两个分力，D处可动铰支座仅有竖向约束力。画出整体受力图后，列写平面力系的三个平衡方程（例如，对A点取矩，可直接求出D处约束力；再由水平和竖向力的平衡求出A处的两个分力）。

求得整体的约束力后，为求B处内力，需将构架拆开。可选取杆AB或杆BCD作为研究对象。若取杆AB为研究对象，其A端约束力已知，B处受力可设为一对正交力（或根据杆的受力特点判断，如二力杆）。再对A点取矩或列写平衡方程，即可求出B处的约束力。注意，此时杆AB是否为二力杆是关键判断点，需根据其受力情况分析。

（二）考虑摩擦的平衡问题

例题2：一重为G的物块放置在倾角为θ的斜面上，物块与斜面间的静摩擦因数为f_s。一水平力P作用于物块上，试求物块在斜面上保持静止时，力P的取值范围。

分析与解答思路：

考虑摩擦时，物体可能处于临界平衡状态，此时静摩擦力达到最大值，其大小由F_max=f_s*N确定，方向与相对运动趋势相反。本题中，力P过大，物块有上滑趋势；力P过小，物块有下滑趋势。因此，P存在一个最小值和最大值。

分别对两种临界状态进行分析：

1.物块即将上滑：此时静摩擦力沿斜面向下。建立坐标系（通常取平行和垂直于斜面方向），列写平衡方程。在垂直斜面方向，正压力N与G、P的分量有关；在平行斜面方向，P的分量与G的分量及最大静摩擦力平衡。

2.物块即将下滑：此时静摩擦力沿斜面向上。同理，列写平衡方程，此时静摩擦力方向与上滑时相反。

联立方程求解，即可得到P的取值范围。解题时务必注意摩擦力方向的判断，这是此类问题的核心。

二、运动学篇

运动学旨在描述物体的运动规律，不涉及引起运动的力。其核心在于建立运动方程，分析速度和加速度。

（一）点的合成运动

例题3：直角弯杆OAB以匀角速度ω绕O轴转动，OA段长为l，AB段长也为l。小环M套在AB杆上，并同时套在固定的直杆Ox上。当θ=60°时，求小环M的速度和加速度。

分析与解答思路：

点的合成运动问题需明确动点、动系和定系。本题中，小环M相对于AB杆运动，同时AB杆又在转动，故可取小环M为动点，动系固连于直角弯杆OAB（作定轴转动），定系固连于地面（或固定直杆Ox）。

运动分析：动点M的绝对运动是沿Ox杆的直线运动；相对运动是沿AB杆的直线运动；牵连运动是动系（弯杆）绕O轴的定轴转动。

根据速度合成定理：v_绝=v_牵+v_相。

牵连速度v_牵：动系上与动点M重合的那一点（牵连点）的速度，方向垂直于OM，大小为ω*OM。OM的长度可根据几何关系（θ角）求出。

相对速度v_相：方向沿AB杆，大小未知。

绝对速度v_绝：方向沿Ox轴，大小未知。

作出速度平行四边形，根据几何关系（三角函数）即可求解v_绝和v_相的大小。

加速度分析则需应用加速度合成定理，考虑牵连运动为转动时的科氏加速度。即：a_绝=a_牵+a_相+a_科。

牵连加速度a_牵：由于动系作匀速转动，牵连切向加速度为零，仅有牵连法向加速度，方向沿OM指向O，大小为ω2*OM。

相对加速度a_相：方向沿AB杆，大小未知（设为正值，若结果为负则方向相反）。

科氏加速度a_科：方向由v_相与ω的矢量叉积确定，大小为2ω*v_相（因v_相与ω垂直）。

绝对加速度a_绝：方向沿Ox轴，大小未知。

建立坐标系（如Ox轴和Oy轴），将各加速度矢量向坐标轴投影，得到代数方程，求解即可得到a_绝和a_相。

三、动力学篇

动力学研究物体的运动与作用于物体上的力之间的关系。

（一）动能定理的应用

例题4：均质圆盘半径为r，质量为m，可绕通过其中心O的水平固定轴转动。一不可伸长的轻绳绕在圆盘边缘，绳的另一端悬挂一质量为m的物块。初始时系统静止，物块距地面高度为h。不计轴承处摩擦及空气阻力，求物块下落至地面时的速度以及圆盘的角加速度。

分析与解答思路：

动能定理（T2-T1=