第3讲 数学建模的插值法.pptVIP

第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日*实验目的实验内容2、掌握用数学软件包求解插值问题。1、了解插值的基本内容。[1]一维插值[2]二维插值[3]实验作业第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日*拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值一维插值一、插值的定义二、插值的方法三、用Matlab解插值问题返回第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日*返回二维插值一、二维插值定义二、网格节点插值法三、用Matlab解插值问题最邻近插值分片线性插值双线性插值网格节点数据的插值散点数据的插值第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日*一维插值的定义已知n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值?????节点可视为由产生表达式复杂,或无封闭形式,或未知.。?第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日*构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值，即??????返回第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日*称为拉格朗日插值基函数。已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为y0,y1,…,yn。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下其中Li(x)为n次多项式：拉格朗日(Lagrange)插值第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日*拉格朗日(Lagrange)插值特别地:两点一次(线性)插值多项式:三点二次(抛物)插值多项式:第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日*拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.例返回ToMatlablch(larg1)第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日*分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小.??????xjxj-1xj+1x0xnxoy第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日*ToMATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回例用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11)4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14)2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12)3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13)第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日*比分段线性插值更光滑。?????????xyxi-1xiab在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日*三次样条插值g(x)为被插值函数。第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日*例用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych)返回ToMATLABych(larg1)第14页，共34页，星期日，2025年，2月5日*用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法被插值点插值节点xi处的插值结果‘nearest’：最邻近插值‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值。缺省时：分段线性插值。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。第15页，共34页，星期日，2025年，2月5日*例：在1-12的12小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);plot(hours,temps,+,h,t,ho