第一节二重积分概念.pptVIP

第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日上页下页返回结束二重积分三重积分重积分应用定积分重积分二元函数在平面区域上的积分三元函数在空间区域上的积分：一元函数在直线段上的积分第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日问题的提出二重积分的性质第九章重积分第一节上页下页返回结束二重积分的概念与性质二重积分的概念第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日１．曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体：顶：曲面底侧面底为xoy面上区域D，侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，顶为曲面z=f(x,y)的立体D上页下页返回结束第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日曲顶柱体的体积顶：曲面底侧面（分割区域D,化整为零）x0yz（局部以平代曲,求局部体积的近似值）D??i（1）分割（2）近似（3）求和（积零为整）上页下页返回结束既表示小区域，也表示其面积）第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日曲顶柱体的体积顶：曲面底侧面x0yzD??i（3）求和（4）取极限（令分法无限变细）V=（分割区域D,化整为零）（局部以平代曲,求局部体积的近似值）（1）分割（2）近似（积零为整）上页下页返回结束第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日曲顶柱体的体积顶：曲面底侧面x0yzD??i（3）求和（4）取极限（令分法无限变细）V=（分割区域D,化整为零）（局部以平代曲,求局部体积的近似值）（1）分割（2）近似（积零为整）上页下页返回结束第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日曲顶柱体的体积x0yz（3）求和（4）取极限（令分法无限变细）V=（分割区域D,化整为零）（局部以平代曲,求局部体积的近似值）（1）分割（2）近似（积零为整）上页下页返回结束第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日２．求平面薄片的质量设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点求平面薄片的质量.),(yx处的面密度为),(yxr，假定),(yxr在D上连续，（1）分割（分割区域D,化整为零）（2）近似将非均匀小薄片近似看作均匀小薄片，上页下页返回结束既表示小区域，也表示其面积）第9页，共24页，星期日，2025年，2月5日（3）求和（积零为整）（4）取极限（令分法无限变细）上页下页返回结束第10页，共24页，星期日，2025年，2月5日两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：(2)所求量的结构式相同分割、近似、求和、取极限曲顶柱体体积:平面薄片的质量:上页下页返回结束第11页，共24页，星期日，2025年，2月5日定义将区域D任意分成n个小区域任取点若存在常数I,使得可积,在D上的二重积分.积分和积分区域被积函数被积表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数.上页下页返回结束二、二重积分的概念第12页，共24页，星期日，2025年，2月5日注：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当被积函数f(x,y)在积分区域D上连续时，二重积分必存在.(3)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分面积元素为D故二重积分可写为区域D，这时因此，在直角坐标系下，上页下页返回结束第13页，共24页，星期日，2025年，2月5日曲顶柱体体积:平面薄板的质量:由二重积分定义知：上页下页返回结束第14页，共24页，星期日，2025年，2月5日二重积分的几何意义当f(x,y)0时，二重积分是曲顶柱体的体积．当f(x,y)0时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．若f(x,y在区域内有正有负,二重积分是xoy面上方曲顶柱体的体积与下方曲顶柱体的体积的差值．上页下页返回结束第15页，共24页，星期日，2025年，2月5日性质１当为常数时，性质２