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平行线与相交角度计算习题解析

在平面几何的入门阶段，平行线与相交线所形成的角度计算是核心内容之一。这类问题不仅考察对基本概念的理解，更注重逻辑推理能力和空间想象能力的运用。本文将系统梳理相关的核心知识，并通过典型习题的深度解析，帮助读者掌握解题思路与技巧，提升解决此类问题的熟练度与准确性。

一、核心概念与性质回顾

在进行习题解析之前，我们首先需要明确并熟练掌握以下基本概念和性质，它们是解决所有角度计算问题的基石。

1.1相交线所形成的角

当两条直线相交时，会形成四个角。其中：

*对顶角：两条直线相交，相对的两个角互为对顶角。对顶角的性质是对顶角相等。

*邻补角：两条直线相交，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。邻补角的性质是它们的和为180°。

1.2平行线被截形成的角

当两条平行线（AB∥CD）被第三条直线（EF，称为截线）所截时，会形成八个角。根据它们的位置关系，可分为：

*同位角：位置相同，即在截线的同侧，且在两条被截直线的同一方。性质：两直线平行，同位角相等。

*内错角：在截线的两侧，且在两条被截直线之间。性质：两直线平行，内错角相等。

*同旁内角：在截线的同侧，且在两条被截直线之间。性质：两直线平行，同旁内角互补（和为180°）。

注：上述同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是平行线的性质。反之，如果同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补），则可判定两条直线平行，这是平行线的判定。在角度计算中，我们主要运用平行线的性质。

二、典型习题解析

习题1：基础应用

题目：如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H。若∠EGB=50°，求∠DHF的度数。

分析与解答：

首先，我们需要在脑海中构建图形或者根据描述画出简易图。AB与CD平行，EF是截线。

∠EGB与∠GHD是同位角，因为AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠EGB=∠GHD=50°。

又因为∠GHD与∠DHF是对顶角（由直线EF和CD相交于H点形成），根据“对顶角相等”，所以∠GHD=∠DHF=50°。

因此，∠DHF的度数为50°。

小结：本题直接应用了平行线的性质（同位角相等）和对顶角的性质，是最基础的角度计算题。

习题2：结合角平分线

题目：如图，直线AB∥CD，直线EF交AB于G，交CD于H。若∠AGH的平分线GI与∠CHG的平分线HJ相交于点K，且∠AGH=60°，求∠GKH的度数。

分析与解答：

因为AB∥CD，所以∠AGH与∠CHG是同旁内角（需要确认：AB、CD被EF所截，∠AGH在AB上方，EF左侧；∠CHG在CD上方，EF右侧，所以它们是同旁内角）。根据“两直线平行，同旁内角互补”，∠AGH+∠CHG=180°。

已知∠AGH=60°，所以∠CHG=180°-60°=120°。

GI是∠AGH的平分线，所以∠AGI=∠IGH=∠AGH/2=60°/2=30°。

HJ是∠CHG的平分线，所以∠CHJ=∠JHG=∠CHG/2=120°/2=60°。

现在看三角形GKH（如果GI和HJ相交于K），我们已知了∠IGH=30°，∠JHG=60°。根据三角形内角和为180°，则∠GKH=180°-∠IGH-∠JHG=180°-30°-60°=90°。

因此，∠GKH的度数为90°。

小结：本题综合应用了平行线的性质（同旁内角互补）、角平分线的定义以及三角形内角和定理。关键在于准确识别角的关系并逐步计算。

习题3：含垂直与方程思想

题目：如图，AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点M、N，且EG⊥AB于点G，交CD于点F。若∠1=35°，求∠2的度数。

分析与解答：

AB∥CD，EG⊥AB于G，根据“垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条”（或者说，两平行线被第三条直线所截，同位角相等，因为EG垂直AB，∠EGB=90°，则EG与CD的夹角∠EFD也为90°），所以EG⊥CD，即∠EFC=∠EFD=90°。

∠1是哪个角？根据描述，应该是直线l与EG相交所形成的一个角。假设∠1是∠MGH（H为l与EG的交点），即∠MGH=35°。

在直角三角形MGH中（因为EG⊥AB，∠MGH=90°），∠GMH=90°-∠1=90°-35°=55°。

∠GMH