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复变函数课程思政内容教学案例分享

引言

在高等教育全面推进课程思政建设的背景下，如何将思政元素有机融入专业课程教学，实现知识传授与价值引领的统一，是每一位教育工作者面临的重要课题。复变函数作为数学类、物理类、工程类等专业的一门重要基础理论课程，其内容抽象、逻辑严密，蕴含着丰富的辩证唯物主义思想、科学思维方法和人文精神。本文旨在结合复变函数的核心知识点，分享若干课程思政教学案例，探讨如何在教学过程中自然、有效地渗透思政教育，以期为相关课程的思政建设提供参考。

一、案例一：从“复数”的诞生看科学探索的艰辛与创新精神

（一）知识点回顾

复数的概念是复变函数的起点。从实数系到复数系的扩展，是数学发展史上的一次重要飞跃。教学中通常会介绍虚数单位“i”的引入过程，以及复数的代数表示、几何意义等。

（二）思政元素挖掘与融入

1.科学探索的曲折与坚持：在介绍复数概念时，可以简述其从最初被称为“虚数”（imaginarynumber）所带有的神秘色彩和不被接受的困境，到后来在数学家们（如卡尔达诺、笛卡尔、欧拉、高斯等）的不懈努力下，逐渐被理解、接受并发展成为数学体系中不可或缺的重要组成部分的历史过程。这一过程生动展现了科学真理的发现往往不是一帆风顺的，需要科学家们具备勇于质疑、敢于创新、不畏艰难、持之以恒的探索精神。

2.辩证唯物主义认识论：复数的引入挑战了人们对“数”的传统认知，是人类对数系认识的一次深化和拓展。这可以引导学生认识到，人类的认知是一个从片面到全面、从低级到高级不断发展的辩证过程。任何科学理论都不是一成不变的，都需要在实践中不断检验和发展。

3.创新意识的培养：强调复数概念的引入本身就是一项伟大的数学创新，它不仅解决了当时数学内部的矛盾（如负数开平方问题），更为后来的数学研究（如复变函数论）和其他学科（如物理学、工程学）的发展奠定了坚实基础。鼓励学生在学习和未来的工作中要勇于打破思维定势，积极培养创新思维和能力。

（三）融入方式建议

在讲解复数概念时，穿插介绍相关的数学史片段，引导学生思考：如果当时的数学家们因为“虚数”的“不合常理”而放弃研究，将会对数学发展造成怎样的损失？组织简短的课堂讨论，让学生分享自己对科学探索中“质疑”与“坚持”重要性的理解。

二、案例二：从“解析函数”看事物联系的普遍性与严谨性

（一）知识点回顾

解析函数是复变函数课程的核心概念之一，指的是在某个区域内可导的复变函数。它具有一系列优美的性质，如柯西-黎曼方程、无穷次可微性、泰勒级数展开等。

（二）思政元素挖掘与融入

1.事物普遍联系与相互制约：解析函数的定义看似简单（区域内可导），但其背后蕴含着实部与虚部之间通过柯西-黎曼方程所建立的深刻联系。这种联系不是孤立的，而是相互制约、相互影响的。这可以类比于现实世界中，任何事物都不是孤立存在的，而是处在普遍联系和相互作用之中。引导学生用联系的观点看待问题，分析事物之间的内在关联。

2.严谨治学与追求真理：解析函数的性质推导过程逻辑严密，每一个定理的证明都需要严格的数学推理。这有助于培养学生严谨的治学态度和逻辑思维能力。强调在科学研究和学术探索中，必须秉持实事求是、精益求精的精神，不容许任何马虎和臆断，这是追求真理的基本要求。

3.和谐统一之美：解析函数所展现出的内在和谐性（如各种等价定义、完美的性质）是数学美的重要体现。引导学生感受数学的简洁美、对称美、逻辑美，培养学生的审美情趣和对科学的热爱。

（三）融入方式建议

在推导柯西-黎曼方程时，强调其实部函数u和虚部函数v并非独立，而是通过偏导数联系起来，以此类比社会生活中个体与集体、局部与整体的关系。在介绍解析函数的各项优美性质时，引导学生欣赏数学逻辑的严谨性和结论的确定性，鼓励学生在学习中也要一丝不苟，追求知识的准确性。

三、案例三：从“留数定理”看化繁为简的智慧与解决实际问题的能力

（一）知识点回顾

留数定理是复变函数中用于计算沿封闭曲线积分的重要工具。它将复杂的围道积分问题转化为计算被积函数在孤立奇点处留数的代数和，极大地简化了计算。

（二）思政元素挖掘与融入

1.化繁为简的科学思维方法：留数定理的核心思想是将复杂问题简单化，通过抓住问题的关键（奇点处的留数）来解决整体问题。这是一种重要的科学思维方法，在各个领域都有广泛应用。引导学生学习这种“透过现象看本质”、“抓住主要矛盾”的思维方式，培养他们分析和解决复杂问题的能力。

2.理论联系实际与应用价值：留数定理不仅在纯粹数学中有重要地位，在解决工程技术中的实际问题（如计算某些实积分、求解微分方程、处理信号分析中的问题等）中也发挥着巨大作用。通过介绍其在物理学、电子工程等领域的应用实例，让学生认识到理论知识的实践价值，激发学习兴趣，培养应用意识和解决实际问题的能力。

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