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2025年专升本广西高等数学考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在点x=2处的导数为3，则下列哪个函数在x=2处的导数也为3？

A.2f(x)

B.f(2x)

C.f(x+2)

D.f(x^2)

答案：C

解析：根据导数的定义，若f(x)在x=2处的导数为3，即f(2)=3。对于选项C，f(x+2)的导数为f(x+2)，当x=2时，f(2+2)=f(4)。由于导数是一个局部性质，f(2)与f(4)不一定相等，但若f(x)是一个线性函数，如f(x)=3x+b，则f(x+2)=3，符合条件。

2.设函数f(x)=ln(x^2)，则f(1)等于：

A.2ln2

B.2

C.1

D.0

答案：B

解析：f(x)=2x/(x^2)，代入x=1，得f(1)=21/(1^2)=2。

3.已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，求f(x)。

A.3x^26x+1

B.6x^26x+1

C.3x^26x

D.6x^26x1

答案：A

解析：f(x)=3x^26x+1，f(x)=6x6。

4.设函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则下列哪个函数在区间(0,+∞)上也单调递增？

A.f(x^2)

B.f(1/x)

C.f(x+1)

D.f(x1)

答案：C

解析：由于f(x)单调递增，x+1比x大，所以f(x+1)也比f(x)大，故f(x+1)单调递增。

5.若积分∫(0to1)f(x)dx=3，则积分∫(1to2)f(x1)dx等于：

A.3

B.6

C.0

D.1

答案：A

解析：令t=x1，则dt=dx，当x=1时，t=0；当x=2时，t=1。所以∫(1to2)f(x1)dx=∫(0to1)f(t)dt=3。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^2sin(x)在x=π处的导数f(π)等于______。

答案：π

解析：f(x)=2xcos(x)，代入x=π，得f(π)=2π(1)=π。

7.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)f(b)0，则根据零点定理，f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，这个结论称为______。

答案：零点定理

8.设函数f(x)=e^x，求不定积分∫f(x)dx。

答案：e^x+C

解析：根据e^x的不定积分公式，∫e^xdx=e^x+C。

9.设函数f(x)=x^33x^2+x+1，求f(x)=0的解。

答案：x=1,x=2

解析：f(x)=3x^26x+1，令f(x)=0，解得x=1或x=2。

10.求极限lim(x→∞)(x^2+1)/(x^21)。

答案：1

解析：lim(x→∞)(x^2+1)/(x^21)=lim(x→∞)(1+1/x^2)/(11/x^2)=1。

三、解答题（每题25分，共75分）

11.设函数f(x)=ln(x^2+1)，求f(x)。

答案：f(x)=2x/(x^2+1)

解析：根据链式法则和基本导数公式，f(x)=(2x)/(x^2+1)。

12.求函数f(x)=x^36x^2+9x+1在区间[1,5]上的最大值和最小值。

答案：最大值8，最小值1

解析：求f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，解得x=1和x=3。比较f(1),f(1),f(3),f(5)的值，得最大值为8，最小值为1。

13.求不定积分∫(x^2+2x+1)/(x+1)^2dx。

答案：x1/(x+1)+C

解析：通过长除法和部分分式分解，将原积分转换为∫(x+1)/(x+1)^2dx+∫1/(x+1)^2dx，然后分别求解。