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2025年专升本广西壮族自治区高数一考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.f(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减

D.f(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增

答案：C

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增。因此，f(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增。

2.函数y=e^x在x=0处的切线方程为（）

A.y=x+1

B.y=x+1

C.y=ex

D.y=2ex

答案：B

解析：y=e^x，在x=0处，y=e^0=1。切点为(0,1)，切线方程为y1=1(x0)，即y=x+1。

3.若lim(x→0)(sinxtanx)/x^3=A，则A的值为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：利用洛必达法则，lim(x→0)(sinxtanx)/x^3=lim(x→0)(cosxsec^2x)/3x^2=lim(x→0)(sinx2sec^2x)/6x=1。

4.设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在区间[2,1]上的最大值和最小值。

A.最大值4，最小值1

B.最大值3，最小值1

C.最大值4，最小值2

D.最大值3，最小值2

答案：A

解析：f(x)=2x+2，令f(x)=0，得x=1。f(1)=2，f(2)=1，f(1)=4。因此，f(x)在区间[2,1]上的最大值为4，最小值为1。

5.设函数f(x)=x^2+kx+1，其中k为实数。若f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（）

A.k0

B.k0

C.k≥0

D.k≤0

答案：B

解析：f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，即f(x)=0有两个不同的实数根。根据韦达定理，判别式Δ=k^240，解得k0。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=2x^33x^2+x+1在x=1处的导数f(1)=_______。

答案：4

解析：f(x)=6x^26x+1，f(1)=66+1=4。

2.函数y=x^2e^x在x=0处的二阶导数y(0)=_______。

答案：2

解析：y=(2x+x^2)e^x，y=(2+4x+x^2)e^x，y(0)=2。

3.求极限lim(x→∞)(x^2+2x+1)/(x^2x+1)=_______。

答案：1

解析：分子分母同除以x^2，得lim(x→∞)(1+2/x+1/x^2)/(11/x+1/x^2)=1。

4.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值点。

答案：x=1，x=1

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=1，x=1。f(1)=4，f(1)=1。因此，f(x)的极值点为x=1和x=1。

5.设函数f(x)=x^2+kx+1，其中k为实数。若f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。

答案：k0

解析：根据韦达定理，判别式Δ=k^240，解得k0。

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间。

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=1，x=1。f(x)在(∞,1)和(1,+∞)内单调递增，在(1,1)内单调递减。

2.（本题15分）设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)在区间[2,1]上的最大值和最小值。

解析：f(x)=2x+2，令f(x)=0，得x=1。f(1)=2，f(2)=1，f(1)=4。f(x)在区间[2,1]上的最大值为4，最小值为1。

3.（本题15分）求极限lim(x→0)(sinxtanx)/x^3。

解析：利用洛必达法则，lim(x→0)(sinxtanx)/x^3=lim(x→