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初中一次函数专题辅导资料合集

同学们，一次函数是我们初中数学学习中一个非常重要的基础内容，它不仅是后续学习反比例函数、二次函数等更复杂函数的基石，在解决实际问题中也有着广泛的应用。掌握好一次函数，能帮助我们更好地理解变量之间的关系，提升逻辑思维和解决问题的能力。这份辅导资料将陪伴大家系统梳理一次函数的相关知识，希望能为大家的学习助一臂之力。

一、一次函数的概念与定义

在数学的世界里，我们常常会遇到各种变化的量。比如，汽车行驶的路程会随着时间的变化而变化，购买商品的总价会随着购买数量的变化而变化。当一个量随着另一个量的变化而变化，并且这种变化遵循一定的规律时，我们就可以用函数来描述它们之间的关系。

1.1函数的基本认知

在一个变化过程中，如果有两个变量，例如x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。这个定义听起来有些抽象，但只要抓住“一个x对应唯一的y”这个核心，就能理解其内涵。

1.2一次函数的定义

一般地，如果两个变量x与y之间的关系可以表示成y=kx+b（其中k、b是常数，且k不等于0）的形式，那么我们就称y是x的一次函数。这里的k叫做比例系数，b叫做常数项。

*关键点剖析：

*“一次”指的是自变量x的次数是1。

*比例系数k不能为0，这是定义中非常严格的一点。如果k为0，那么函数就变成了y=b，这是一个常函数，不再是一次函数。

*b可以为0，当b=0时，函数表达式就简化为y=kx（k不等于0），我们把这种形式的函数叫做正比例函数。所以，正比例函数是一次函数的一种特殊情况，是当b=0时的一次函数。

思考与辨析：

判断下列函数是否为一次函数？若是，指出其中的k与b；若不是，请说明理由。

1.y=3x-1

2.y=-0.5x

3.y=7

4.y=x2+1

5.y=(2/x)+3

（思考过后，我们会发现，1和2是一次函数，3是常函数，4是二次函数，5中x在分母，不是一次函数。）

二、一次函数的图像与性质

一次函数的图像是我们理解其性质的直观工具。通过图像，我们可以清晰地看到函数的变化趋势和一些关键特征。

2.1一次函数图像的形状

一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线。正因为如此，我们画一次函数图像时，只需要确定两个点，然后过这两个点作直线即可。这就是我们常说的“两点法”画函数图像。

画一次函数图像的步骤（两点法）：

1.选取两个适当的x值，通常可以取x=0，求出对应的y值（此时得到的是函数图像与y轴的交点(0,b)）；再取y=0，求出对应的x值（此时得到的是函数图像与x轴的交点(-b/k,0)，前提是k≠0且b≠0）。当然，也可以根据实际情况选取更容易计算的其他x值。

2.在平面直角坐标系中描出这两个点。

3.用直尺连接这两个点，得到的直线就是该一次函数的图像。

2.2正比例函数图像的特殊性

正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过原点(0,0)的一条直线。因此，画正比例函数图像时，除了原点，再找一个点就可以了，比如当x=1时，y=k，得到点(1,k)。

2.3一次函数图像的性质（k和b的作用）

一次函数y=kx+b(k≠0)的图像性质，主要由k和b这两个常数决定。我们通常称k为斜率，b为截距（更准确地说是y轴截距）。

*k的作用：

*决定直线的倾斜方向和增减性：

*当k0时，直线从左到右上升，函数y随自变量x的增大而增大。

*当k0时，直线从左到右下降，函数y随自变量x的增大而减小。

*决定直线的倾斜程度：|k|的值越大，直线越陡峭；|k|的值越小，直线越平缓。

*b的作用：

*决定直线与y轴的交点位置：

*当b0时，直线与y轴交于正半轴（原点上方）。

*当b=0时，直线经过原点（正比例函数）。

*当b0时，直线与y轴交于负半轴（原点下方）。

总结归纳：

我们可以把直线y=kx+b(k≠0)看作是由直线y=kx平移得到的。当b0时，向上平移b个单位长度；当b0时，向下平移|b|个单位长度。

思考与讨论：

1.函数y=2x+3与y=2x-3的图