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大学数学概率统计

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=\frac{1}{2}e^{-x/2}，x\geq0，则X的分布函数F(x)为（）（2分）

A.1-e^{-x/2}

B.e^{-x/2}

C.1-e^{-x}

D.e^{-x}

【答案】A

【解析】根据概率密度函数的定义，F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{2}e^{-t/2}\,dt=1-e^{-x/2}。

2.若事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A\cupB)为（）（2分）

A.0.1

B.0.7

C.0.8

D.0.9

【答案】B

【解析】由于事件A和事件B互斥，即P(A\capB)=0，所以P(A\cupB)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。

3.设随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=1，则根据切比雪夫不等式，P(|X-2|\geq2)的值不超过（）（2分）

A.1/4

B.1/2

C.1

D.4

【答案】A

【解析】根据切比雪夫不等式，P(|X-E(X)|\geqk\sqrt{Var(X)})\leq\frac{1}{k^2}，这里k=2，所以P(|X-2|\geq2)\leq\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}。

4.设总体X服从正态分布N(\mu,\sigma^2)，其中\mu未知，\sigma^2已知，样本容量为n，则\mu的置信水平为95%的置信区间为（）（2分）

A.(\bar{X}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})

B.(\bar{X}-t_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})

C.(\bar{X}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})

D.(\bar{X}-t_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})

【答案】A

【解析】由于\sigma^2已知，使用标准正态分布的临界值z_{0.025}，因此置信区间为(\bar{X}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})。

5.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=3，X的方差Var(X)=4，Y的方差Var(Y)=9，则X和Y的相关系数\rho_{XY}为（）（2分）

A.1/2

B.3/4

C.3/2

D.1

【答案】B

【解析】相关系数\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{3}{\sqrt{4\times9}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}。

6.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,4)，Y~N(2,9)，则Z=2X-3Y的期望E(Z)和方差Var(Z)分别为（）（2分）

A.E(Z)=-4,Var(Z)=33

B.E(Z)=-4,Var(Z)=37

C.E(Z)=4,Var(Z)=33

D.E(Z)=4,Var(Z)=37

【答案】A

【解析】E(Z)=2E(X)-3E(Y)=2\times1-3\times2=-4，Var(Z)=4Var(X)+9Var(Y)=4\times4+9\times9=16+81=33。

7.设总体X的概率分布为P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}，k=0,1,2,\ldots，则E(X)和Var(X)分别为（）（2分）

A.E(X)=\lambda,Var(X)=\lambda

B.E(X)=\lambda,Var(X)=\lambda^2

C.E(X)=\lambda^2,Var(X)=\lambda

D.E(X)=\lambda^2,Var(X)=\lambda^2

【答案】A

【解析】根据泊松分布的性质，E(X)=\lambda，Var(X)=\lambda。

8.设总体X服从均匀分布U(0,\theta)，其中\theta未知，从总体中抽取样本X_1,X_2,\ldots,X_n，则\theta的矩估计量\hat{\theta}_M为（）（2分）

A.\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i

B.2