新版高三数学第一轮知识点课后强化训练题.docVIP

基础达标检测

一、选择题

1．已知函数f（x)＝２ｘ3-６x2＋m(m为常数)在[－2,２]上有最大值3,那么此函数在[－２,2］上的最小值是()

Ａ.－３7?Ｂ.-2９

Ｃ．-5 D.以上都不对

[答案]Ａ

［解析］ｆ′(x)=6x(x-2)，

∵f(ｘ)在(－2,0)上为增加的,在(0,2）上为降低的，

∴当x=０时，ｆ(ｘ）=m最大，

∴m=3，f(-2)=-37,f(2)＝-5．

２．设f′(ｘ)是函数f(x）的导函数，ｙ=f′(ｘ)的图像如图所表达,则y＝f(x)的图像最有可能是(）

[答案]C

［解析]由ｙ＝f′(x)的图像易知当x＜０或x＞2时，f′(ｘ)０,故函数ｙ＝f(ｘ)在区间(-∞,0)和（2，+∞)上单调递增；当0x＜2时,ｆ′(x)０，故函数y=f(x)在区间（０，2)上单调递减.

3.已知定义域为R的函数f(x）满足:ｆ(４)＝－3,且对任意ｘ∈R总有f′（x)3,则不等式f(ｘ)＜３x－15的解集为（)

A．(－∞,4） B.（－∞，－4）

C.（-∞,－４)∪(4，＋∞） Ｄ．（4,+∞)

［答案]D

[解析］方法一（数形结合法)：

由题意知,f（x)过定点(4，－3)，且斜率ｋ=f′(ｘ）3.

又y＝3x－15过点（4,-3)，k＝3.

∴y=f′（x）和ｙ=3ｘ－1５在同一坐标系中的草图如图,

∴ｆ(x）＜3x－15的解集为(４，＋∞)，故选D.

方法二:记ｇ(x）=f（x)-３x＋15,

则ｇ′(x)＝ｆ′（ｘ)-３０，

可知g(ｘ）在Ｒ上为减函数.

又g(４)=f(4)－3×4＋15＝0,

∴f(x）＜3ｘ－1５可化为ｆ(x）-3ｘ+1５＜0，

即ｇ(ｘ)g(4)，结合其函数单调递减，故得x＞4.

4.若函数ｆ(x)＝ｅq\ｆ(１,2）sｉn2x+ｓinx，则f′（x）是(）

A.仅有最小值的奇函数

B.仅有最大值的偶函数

C．既有最大值又有最小值的偶函数

D．非奇非偶函数

[答案]C

［解析］f（ｘ)=sｉnxcｏsx＋sinx，则f′(x)=cｏｓxｃoｓx＋sｉnx·（-sinx)＋ｃoｓx＝cos2x-sin2x+ｃｏsｘ＝2ｃｏs2x+cｏsx－1，显然ｆ′（x)是偶函数，又因为coｓx∈[－1,1]，所以函数f′（x）既有最大值又有最小值.

5.函数ｆ(x)＝x2-2ａx+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(ｘ)＝ｅq＼f(f?x?,ｘ）在区间(1，＋∞)上一定(）

Ａ.有最小值?B．有最大值

C．是降低的?D.是增加的

[答案]Ｄ

[解析]∵f(x)=x2-2ax+a在区间(－∞，１)上有最小值，∴a＜１.

∴ｇ(x)＝eq\ｆ(f?x?,x）=ｘ＋eq\f（a,x)-2ａ，

则ｇ′（ｘ）=1－eq\f（a，x2）=eq\f(x２-a,x2）．

∵x∈(1，+∞)，a＜１,∴ｘ2－a0，即ｇ′(x)０.

∴g（x)在（１,+∞）上是增加的.

6.（文)如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10000m２,鱼塘前面要留4m的运料通道,其余各边为２m宽的堤埂,则占地面积至少时,每个鱼塘的长、宽分别为()

A．长1０２m,宽ｅq\f(5００0,５１)m?B.长１50m，宽66ｍ

C.长、宽均为100米?Ｄ．长150m，宽ｅq＼f（2０0,３)ｍ

[答案]Ｄ

[解析]设鱼塘长、宽分别为ｙｍ、ｘｍ，依题意xy＝１０0０0．

设占地面积为S,则S＝(3x+8)(y＋6)

=18x+eq\f（80０0０,x)+30048,

令S′＝１８-eq＼f(80000,ｘ２)＝0，得x＝eq\f(２00,3）.此时y=150.

（理)放射性元素因为不停有原子放射出微粒子而变成其余元素，其含量不停降低，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯１3７的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t（单位：年)满足函数关系：Ｍ(ｔ）=M0２-ｅq\f(ｔ，30），其中M0为t=0时铯137的含量.已知ｔ=30时,铯137含量的变化率是-10ｌn２(太贝克/年),则M(60)＝()

A.５太贝克?Ｂ．75lｎ2太贝克

C.1５0ln2太贝克?D．１50太贝克

[答案］D

[解析]本题考查导数在生活中的应用.

M′(t)=-eq\ｆ(M0,３0)ln2·2－eq\f(ｔ,30)，∴Ｍ′(3０)＝-eq\f(M0,6０)ln2＝-１０lｎ2,∴M０＝60０，∴M(t)=600·２－eq\ｆ(ｔ，３0)，

∴M(6０)=600·２-2=1５0.

二、填空题

7．函数f（x)＝ｘ2－2lnx的最小值为________.

[答案]1

[解析]