无穷区间广义积分定义与收敛性判定.pdfVIP

一、无穷限的广义积分

定义1设函数f(x)在区间[a,+)上连续，取

b

ba，如果极限limaf(x)dx存在，则称此极

b→+

限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的广义积

+

分，记作af(x)dx.

+b

af(x)dxlimaf(x)dx

b→+

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在

时，称广义积分发散.

类似地可定义:bb

f(x)dxlimaf(x)dx

a→

++

f(x)dxcf(x)dx+cf(x)dx



cb

limaf(x)dx+limcf(x)dx

a→b→+

c+

若f(x)dx,cf(x)dx中有一个不存在,则称



+

广义积分f(x)dx不存在

+

例1计算广义积分1x2.

+0

dxdx+dx

解1+x21+x2+01+x2

0011bb11

limlimdxdxlimlimx22dxdx

若f(x)的一个原函数为F(x),则

limlimarctanarctanxx00limlimarctanarctanxxbbbb

+b

af(x)dxlimaf(x)dxlimF(b)F(a)F(x)|+

b→+b→+a

limarctana+limarctanb..

aa→→bb→→2