高数极限四则运算法则及应用.pdfVIP

一、极限四则运算法则

定理1设limf(x)A,limg(x)B,则

(1)lim[f(x)g(x)]AB;

(2)lim[f(x)g(x)]AB;

f(x)A

(3)lim,其中B0.

g(x)B

证（1）limf(x)A,limg(x)B.

f(x)A+,g(x)B+.其中→0,→0.

f(x)+g(x)(A+)+(B+)A+B+α+β.

由无穷小的性质,得+→0.

（2）f(x)g(x)(A+)(B+)AB+(Aβ+Bα+αβ)

而A+B+→0

（3）证明

说明:可将定理1中（1）、（2）推广到有限个函

数相加、减、乘的情形.

推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则

lim[cf(x)]climf(x).

常数因子可以提到极限记号外面.

推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则

nn

lim[f(x)][limf(x)].

因为数列是一种特殊的函数,所以定理1对数列极限

也是适用的.

（极限保序性定理推论的证明）

若limf(x)A,limg(x)B,且f(x)g(x),

则AB.

证:令(x)f(x)−g(x)则(x)0

则利用（1）以及函数极限保序性可证明AB.

例1求

解lim(2x−1)lim2x−lim12limx−lim1

x→1x→1x→1x→1x→1

21−11

例2求

x3−1lim(x3−1)

解limx→2

22

x→2x−5x+3lim(x−5x+3)

x→2

3

(limx)−lim123−17

x→2x→2

=−

(limx)2−5limx+lim322−52+33

x→2x→2