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大学高等数学教学课程标准

一、课程性质与目标

高等数学是高等院校理工科各专业学生必修的一门重要基础理论课程，也是培养学生理性思维、逻辑推理能力和数学应用意识的关键课程。本课程旨在通过系统的知识传授与严格的思维训练，使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续专业课程的学习奠定坚实的数学基础。同时，通过数学思想方法的渗透与数学文化的熏陶，培养学生的抽象思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力，以及勇于探索的科学精神。

本课程的具体目标包括：

1.知识目标：使学生理解函数、极限、连续、导数、积分、级数、微分方程等核心概念；掌握基本的运算方法和定理；了解各部分知识之间的内在联系及数学理论的形成过程。

2.能力目标：培养学生运用数学概念分析和描述实际问题的能力；提高学生的逻辑推理能力、空间想象能力和数学建模初步能力；锻炼学生运用所学知识解决实际问题的运算能力和数据处理能力。

3.素养目标：引导学生体会数学的严谨性与逻辑性，培养其科学态度和创新意识；通过数学史与数学文化的融入，提升学生的数学素养和人文情怀；激发学生对数学的兴趣，培养其自主学习和终身学习的能力。

二、课程内容与基本要求

本课程内容的选取以“基础扎实、够用为度、兼顾发展”为原则，注重理论与实际应用的结合。主要内容包括：

（一）函数、极限与连续

1.函数：理解函数的概念，掌握函数的表示法及基本性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性）；熟悉基本初等函数的图像与性质；理解复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；了解函数关系的建立。

2.极限：理解数列极限和函数极限的定义（不要求严格的ε-N、ε-δ论证），掌握极限的性质及四则运算法则；理解无穷小量与无穷大量的概念及基本性质，掌握无穷小量阶的比较；熟练掌握两个重要极限及其应用；会判断函数极限的存在性（如利用夹逼准则、单调有界准则）。

3.连续：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性；理解闭区间上连续函数的有界性、最大值最小值定理、介值定理，并会应用这些性质解决简单问题。

（二）一元函数微分学

1.导数与微分：理解导数的概念及其几何意义和物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；掌握函数的可导性与连续性之间的关系；熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法；了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；理解微分的概念，了解微分的几何意义，掌握微分的运算法则及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

2.微分中值定理与导数的应用：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，了解柯西中值定理（对定理的证明不作要求）；会用洛必达法则求未定式的极限；掌握利用导数判断函数的单调性、求函数的极值的方法；会求函数的最大值与最小值，并能解决简单的应用问题；会判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点；会描绘简单函数的图形（包括水平、铅直渐近线）；了解曲率和曲率半径的概念（对计算不作过高要求）。

（三）一元函数积分学

1.不定积分：理解原函数与不定积分的概念及性质；熟练掌握不定积分的基本公式、换元积分法与分部积分法；会求简单有理函数、三角函数有理式及无理函数的不定积分。

2.定积分：理解定积分的概念及其几何意义和物理意义（如面积、路程、功等）；掌握定积分的基本性质及定积分中值定理；理解变上限积分函数的概念，掌握其求导法则；熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；了解反常积分的概念，会计算简单的反常积分。

3.定积分的应用：掌握用定积分表达和计算一些几何量（如平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）和简单的物理量（如变速直线运动的路程、变力沿直线所作的功、水压力、引力等，可根据专业需求选择）。

（四）多元函数微积分学

1.多元函数的基本概念：理解多元函数的概念；了解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。

2.偏导数与全微分：理解偏导数的概念，掌握多元函数一阶、二阶偏导数的求法；理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；了解多元函数微分学的几何应用（空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）；了解方向导数与梯度的概念（对计算不作过高要求）。

3.多元函数的极值：掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求简单的条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

4.重积分：理解二重积分的概念及其几何意义；掌握二重积分的性质；熟