第三节正定二次型.pptVIP

第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日前面配方法的过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1,d2,…,dn,n个实数进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：该式称为二次型的规范形。r是矩阵A的秩，即二次型的秩。注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di0的个数相同。定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数一、惯性定理第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。假设二次型可以化成两个规范形(1)第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日(2)由(1)(2)我们有：如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。(4)第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日反证法，假设q不等于p，不妨假设pq如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立问题：y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0？(4)方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qn个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于pq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。由此得到p=q.惯性定理成立。第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日一个实二次型，既可以通过拉格朗日配方法化为标准形，也可以通过初等变换法化为标准形。显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．进而将标准形化为规范形，其规范形是唯一的。项数为二次型的秩；其中系数为+1的项的项数为正惯性系数；其中系数为-1的项的项数为负惯性系数。第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日第7页，共20页，星期日，2025年，2月5日为三元二次型，则它为正定二次型为二元二次型，则它为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日证明充分性故三、正(负)定二次型的判别第9页，共20页，星期日，2025年，2月5日必要性（反证法）故第10页，共20页，星期日，2025年，2月5日推论1.实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n推论2.实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位矩阵合同推论4.正定矩阵的行列式大于零证明：设A为正定矩阵，则CTAC=E,两端求行列式得：推论3.对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值全为正第11页，共20页，星期日，2025年，2月5日这个定理称为霍尔维茨定理．定理2对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即第12页，共20页，星期日，2025年，2月5日正定矩阵具有以下一些简单性质第13页，共20页，星期日，2025年，2月5日例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第14页，共20页，星期日，2025年，2月5日