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2025年专升本北京市高等数学考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=(x^22x+1)^2，求f(x)的值。

A.2x2

B.2x1

C.4x4

D.4x^34x^2+2

答案：D

解析：f(x)=(x1)^4，所以f(x)=4(x1)^3(x1)=4(x1)^31=4x^34x^2+2。

2.设函数y=ln(x^2+1)，求y的值。

A.2/(x^2+1)

B.2x/(x^2+1)^2

C.2x/(x^2+1)^2

D.4/(x^2+1)^2

答案：B

解析：y=2x/(x^2+1)，所以y=(2x)/(x^2+1)2x/(x^2+1)^2=2/(x^2+1)2x/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2。

3.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(1)的值。

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：B

解析：将x=1代入f(x)，得f(1)=(1)^33(1)^2+2(1)+1=132+1=0。

4.设函数f(x)=e^x+sin(x)，求f(π)的值。

A.e^π+cos(π)

B.e^πcos(π)

C.e^π+cos(π)

D.e^πsin(π)

答案：B

解析：f(x)=e^x+cos(x)，所以f(π)=e^π+cos(π)=e^π1。

5.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的值。

A.(2x+x^2)e^x

B.(2x+x^2)e^x

C.(2xx^2)e^x

D.(2x+x^2)e^x

答案：A

解析：f(x)=(x^2)e^x+x^2(e^x)=2xe^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=3x^32x^2+x+5在x=2处的切线斜率为______。

答案：12

解析：f(x)=9x^24x+1，f(2)=92^242+1=368+1=29。

7.函数f(x)=x^33x^2+2x+1在x=1处的二阶导数值为______。

答案：2

解析：f(x)=6x6，f(1)=616=0。

8.设函数y=e^xcos(x)，求y的值，y=______。

答案：e^x(cos(x)sin(x))

解析：y=(e^x)cos(x)+e^x(cos(x))=e^xcos(x)e^xsin(x)=e^x(cos(x)sin(x))。

9.设函数f(x)=2x^33x^2+5，求f(3)的值，f(3)=______。

答案：26

解析：将x=3代入f(x)，得f(3)=23^333^2+5=5427+5=32。

10.设函数y=x^2ln(x)，求y的值，y=______。

答案：2xln(x)+x

解析：y=(x^2)ln(x)+x^2(ln(x))=2xln(x)+x^21/x=2xln(x)+x。

三、解答题（共50分）

11.（15分）求函数f(x)=x^36x^2+9x+1在区间[0,5]上的最大值和最小值。

答案：最大值8，最小值1

解析：f(x)=3x^212x+9，f(x)=0时，x=1或x=3。f(1)=5，f(3)=8，f(0)=1，f(5)=1。所以最大值为8，最小值为1。

12.（15分）设函数f(x)=x^33x+1，证明方程f(x)=0在区间(0,2)内至少有一个实根。

答案：证明如下：

f(0)=1，f(2)=5，由零点定理，f(x)=0在(0,2)内至少有一个实根。

13.（20分）求极限lim(x0)(sin(x)x)/x^3。

答案：1/6

解析：lim(x0)(sin(x)x)/x^3=lim(x0)(cos(x)1)/3x^2=lim(x0)(x^2/2)/3x^2=1/6。