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《反比例函数的图像和性质》教学设计

苏祠初中：罗文俐

一、基本信息

课程名称：反比例函数的图像和性质

课时安排：1课时（40分钟）

学段学科：初中数学（华东师大版八年级下册）

授课对象：八年级学生

教材分析：本节课是在一次函数图像与性质、反比例函数概念基础上的延伸，属初中三大基本函数之一。其双曲线图像与直线图像存在本质差异，性质探究需紧扣“象限”限定条件，是培养数形结合思想的核心载体，为后续函数综合应用奠定基础。

学情分析：学生已掌握“列表、描点、连线”画图法及一次函数“解析式→图像→性质”的研究路径，但对曲线型函数特征、“象限内增减性”的思维方式较为陌生，易混淆一次函数“整体增减性”与反比例函数“分段性质”。

二、教学目标

1.知识与技能目标

掌握反比例函数（k≠0）图像的画法，理解“双曲线”的图形特征。

能结合图像准确描述反比例函数的性质，包括图像所在象限、增减性及对称性。

能运用反比例函数的图像与性质解决简单的求值、取值范围及图像判断问题。

2.过程与方法目标

通过类比一次函数的研究方法，体会“解析式→画图→观察→性质→应用”的函数探究路径。

借助k0与k0两种情况下函数图像的对比，培养数形结合思想与分类讨论意识。

3.情感态度与价值观目标

在动手画图与探究性质的过程中，感受函数图像的数学美感与逻辑严谨性，提升数学学习兴趣。

通过小组合作交流，培养主动探究、分享互助的学习习惯。

三、教学重难点

1.教学重点

反比例函数（k≠0）的图像画法及核心性质归纳。

2.教学难点

理解“在每个象限内”的增减性限定条件，突破“整体增减性”的思维误区；掌握反比例函数对称性的内涵及应用。

四、教学准备

1.教师准备

多媒体课件（含PPT、函数图像动态演示视频）、坐标系黑板贴、反比例函数图像探究任务单、学生画图易错案例集。

2.学生准备

方格纸、铅笔、直尺、橡皮；预习一次函数的图像画法与增减性知识。

五、教学过程

（一）复习导入，类比迁移

1.知识回顾

教师通过串讲提问引导学生梳理旧知，课件同步展示以下表格，师生共同填充答案。

问题

预设答案

研究一次函数时，我们遵循的核心路径是什么？涉及哪些关键内容？

研究路径：解析式→图像→性质；关键内容：解析式形式、图像画法、图像特征、增减性。

画任意函数图像的基本步骤是哪三步？

第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线

一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是什么形状？其增减性由哪个参数决定？

图像形状：一条直线；增减性由k决定——k0时，y随x增大而增大；k0时，y随x增大而减小。

2.导入新课

教师总结：“一次函数的研究为我们提供了函数学习的通用框架。今天我们将沿用这个路径，探究反比例函数的图像和性质，看看这种‘分母含x’的函数，和直线型的一次函数有哪些不同的奥秘。”板书课题：反比例函数的图像和性质。

（二）探究新知，动手实践

1.明确探究对象与核心问题

教师在课件中出示反比例函数的典型代表：和，提出3个核心探究问题。

（1）这两个函数的图像是什么形状？

（2）图像的位置与参数k的符号有什么关联？

（3）函数的增减性有什么特殊规律？

2.突破画图关键易错点

教师引导学生结合反比例函数解析式特点，分组讨论画图前的注意事项，形成共识后整理为下表。

关键问题

分析过程

结论

自变量x能取0吗？

解析式中x是分母，分母为0时式子无意义，函数无对应y值。

x≠0，函数图像与y轴无交点。

列表时x取什么数合适？

取整数便于计算y值，取正负对称的数能完整呈现图像的两个分支。

取均匀且对称的整数（如?6,?5,…,1,…,5,6），覆盖正、负取值范围。

连线时要注意什么？

一次函数是直线，反比例函数图像是曲线，且x≠0导致图像不连续。

用平滑曲线连线，第一、三象限（或第二、四象限）的点分别连接，不与坐标轴相交。

3.动手画图，感知图像特征

自主绘制y=图像：学生按“列表→描点→连线”步骤独立操作，其中列表环节需完成以下表格.

x

?6

?5

?4

?3

?2

?1

1

2

3

4

5

6

y

?1

-1.2

-1.5

?2

?3

?6

6

3

2

1.5

1.2

1

展示点评：教师选取3份作品（1份优秀、2份典型错误：如连线生硬、漏画负半轴分支）展示，对照下表标准点评。

评价维度

优秀标准

常见错误

修正建议

列表完整性

包含正负整数，取值对称

只取正数，漏画负半轴分支

补充负整数取值，体现图像全貌

描点准确性

坐标对应精准，点的位置正确

计算错误导致点的位置偏差

描点前核对y值计算结果

连线规范性

曲线平滑，不跨象限连接

连线生硬，或连接不同象限的点

用直尺辅助画平滑曲线，明确分支边界

合作绘制图像：学生以4人小组为单位合作完成，教师巡视指导，重点关注负k值对y值的影响。

4.对比分析，归纳性质

教师引导学生对