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第十二章无穷级数

常数项级数

常数项级数：

定义和概念:无穷级数：部分和:正项级数:，

级数收敛:若存在,则称级数收敛,不然称级数发散

性质：

变化有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛。

两个收敛级数的和差仍收敛。，级数,收敛,则收敛；注:一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

去掉、加上或变化级数有限项，不变化其收敛性级数收敛,则任意加括号后依然收敛;

若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛,其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注:收敛级数去括号后未必收敛.

必要条件：级数收敛。（注意:不是充分条件！唯一判断发散条件)

审敛法:（条件：均为正项级数体现式：,)前n项和存在极限则收敛；收敛有界；

比较审敛法:且，若收敛，则收敛;若发散，则发散.

比较法的极限形式:，而收敛,则收敛；若或，而发散，则发散。

比值法：,当:时,级数收敛;时,级数发散；时,级数可能收敛也可能发散.

交织级数:

莱布尼茨审敛法：交织级数:，满足：,且,则级数收敛。

条件收敛:收敛,而发散;绝对收敛:收敛。绝对收敛,则收敛.

其余级数:等比级数：;调和级数：

函数项级数(幂级数：）

,则收敛半径（缺项级数用比值审敛法求收敛半径)

和函数的性质:在收敛域上连续；在收敛域内可导,且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分,且可逐项积分。（不变,收敛域可能变化)。

泰勒级数: