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九年级数学函数基础知识汇总

同学们，进入九年级，数学学习的深度和广度都有了新的拓展。其中，“函数”无疑是这一阶段的核心内容，它不仅是代数知识的升华，也为我们后续学习更复杂的数学知识乃至解决现实问题提供了强大的工具。掌握函数的基础知识，理解其本质，对于数学思维的培养至关重要。下面，我们就一同梳理九年级阶段函数的核心知识点，希望能帮助大家构建清晰的知识网络。

一、函数的概念：变量间的对应关系

在日常生活和科学研究中，我们常常会遇到各种变化的量，比如时间、速度、温度、路程等等。函数，简单来说，就是描述两个变量之间一种特殊的对应关系。

1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量。

2.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

*关键点：“两个变量”、“x的每一个确定的值”、“y有唯一确定的值”、“对应”。这几个关键词勾勒出了函数的核心特征。

3.函数的三要素：

*定义域：自变量x的取值范围。在实际问题中，定义域的确定还需要考虑自变量的实际意义。

*对应关系：即y如何随着x的变化而变化的规则。

*值域：函数值y的取值范围，它由定义域和对应关系共同决定。

二、函数的表示方法

函数关系是多样的，因此表示函数的方法也有多种，常见的有以下三种：

1.解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如，y=2x+1，y=x2等。这种方法的优点是简洁、准确，便于进行理论分析和计算。

2.列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。例如，我们学过的平方根表、立方根表，以及生活中常见的工资表、成绩单等。这种方法的优点是直观明了，可以直接找到自变量对应的函数值。

3.图像法：用图像来表示函数关系的方法。通常是在平面直角坐标系中，以自变量x为横轴，函数值y为纵轴，描出相应的点，并用平滑的曲线（或直线）连接起来。这种方法的优点是形象直观，能清晰地反映函数的变化趋势和某些性质。

在解决实际问题时，我们常常需要根据具体情况选择合适的表示方法，有时甚至会综合运用多种方法。

三、函数的图像

函数的图像是函数关系的直观体现，学会识图、读图、画图是学习函数的基本技能。

1.图像的定义：对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。

2.画函数图像的一般步骤：

*列表：选取自变量x的一些值，计算出对应的函数值y，列出表格。

*描点：根据表格中的对应值，在坐标平面内描出相应的点。

*连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线（或直线）把所描的点连接起来。

四、一次函数

一次函数是我们接触到的第一种具体函数类型，也是最基础、应用最广泛的函数之一。

1.定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

*当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k是常数，k≠0），这时我们把它叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。

2.一次函数的图像：

*一次函数y=kx+b的图像是一条直线。因此，画一次函数的图像时，只需确定两个点，再过这两点画直线即可。通常选取（0，b）和（-b/k，0）这两个特殊点（分别是与y轴和x轴的交点）。

*正比例函数y=kx的图像：是一条经过原点（0，0）的直线。因此，画正比例函数图像时，只需再确定一个点（通常取（1，k）），过原点和这个点画直线即可。

3.一次函数的性质：

*k的作用：k称为斜率，它决定了直线的倾斜方向和倾斜程度。

*当k0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大。

*当k0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小。

*|k|的值越大，直线越陡峭；|k|的值越小，直线越平缓。

*b的作用：b称为截距，它是直线与y轴交点的纵坐标。

*当b0时，直线与y轴交于正半轴。

*当b=0时，直线经过原点。

*当b0时，直线与y轴交于负半轴。

4.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系：

*一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。