第四章多项式插值与数值逼近.pptVIP

2.三次样条插值给定节点a=x0x1…xn=b,及其上的函数值yk=?(xk),k=0,1,…,n.就是给出平面上n+1个点(xi,yi),i=0,1,…,n.xyo??????定义6.1给定节点a=x0x1…xn=b,及其上的函数值yk=?(xk),k=0,1,…,n.如果函数S(x)满足(1)S(x)是一个分段的三次多项式且S(xk)=yk;(2)S(x)是连续的二阶可导函数。则称S(x)是区间[a,b]上的三次样条插值函数.第30页，共42页，星期日，2025年，2月5日第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： （1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。 问题背景第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日§1插值问题/*InterpolationProblem*/（插值的定义）已知定义于区间上的实值函数在个互异节点处的函数值，若函数集合中的函数满足则称为在函数集合中关于节点的一个插值函数，并称为被插值函数,[a,b]为插值区间，为插值节点，（*）式为插值条件。设外插法：内插法：用计算被插值函数在点处的近似值用计算被插值函数在点处的近似值第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日插值类型代数插值：集合为多项式函数集x0x1x2x3x4xg(x)?f(x)几何意义：有理插值：集合为有理分式函数集三角插值：集合为三角函数集第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日代数插值的存在唯一性设即代入插值条件：第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵方程组存在唯一解，因此满足插值条件(*)的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日截断误差插值余项设在区间[a,b]上连续，在区间[a,b]上存在,是满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对存在，满足其中。且当在区间[a,b]有上界时，有代数插值的插值余项/*Remainder*/第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日注意这里是对t求导证明：设结论显然成立时构造辅助函数则有个互异零点、由罗尔(Roll)定理在区间（a,b）上至少有n+1个互异零点在区间（a,b）上至少有n个互异零点以此类推，反复利用Roll定理在区间（a,b）上至少有1个零点第8页，共42页，星期日，2025年，2月5日而?注：（1）插值误差与节点和之间的距离有关；（2）如果本身为多项式，其插值函数为本身。（3）通常不能确定,而是估计,x?(a,b)将作为误差估计上限。第9页，共42页，星期日，2025年，2月5日§2代数插值多项式的构造方法一、拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式