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附录：基于投影的数据驱动正则化方法

MartinHanke∗OtmarScherzer†

2025年8月12日

本摘要

译我们研究了在正向算子间接给出但通过某些输入输出训练对指定的情况

中下，投影正则化求解线性逆问题的稳定性。我们将[1]中的方法扩展到数据

对，这些数据对可能是噪声的，并且可能线性相关。

1

v

9Keywords:数据驱动正则化，变分正则化，投影正则化，逆问题

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7

7最后修改:2025年8月12日

0

.

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01介绍

5

2

:基于投影的数据驱动正则化试图在不明确使用算子的情况下，仅通

v

i

过其某些输入-输出关系和来重构线性算子方程

x

r

a

(1)

的解。

在[1]中，我们考虑了两种不同的策略来以数据驱动的方式计算(1)的

解：

∗InstituteofMathematics,JohannesGutenberg-UniversitätMainz,55099Mainz,Germany

(hanke@math.uni-mainz.de).

†FacultyofMathematics,UniversityofVienna,Oskar-Morgenstern-Platz1,A-1090Vienna,Aus-

triaJohannRadonInstituteforComputationalandAppliedMathematics(RICAM),Altenberg-

erstraße69,A-4040Linz,AustriaChristianDopplerLaboratoryforMathematicalModeling

andSimulationofNextGenerationsofUltrasoundDevices(MaMSi),Oskar-Morgenstern-Platz1,

A-1090Vienna,Austria(otmar.scherzer@univie.ac.at).

1

DATADRIVENREGULARIZATION2

1.方法一-最小二乘投影（在[1]中称为投影正则化）;

2.方法II-双最小二乘法，最初由Natterer[7]提出，然而该方法需要额

外的测量，因此限制了在数据驱动设置中的实际应用。

除了从[1]得到的方法和结果外，这里还考虑了以下扩展：

1.我们介绍第三种方法（方法III），该方法采用贝叶斯方法，并在某种

程度上结合了方法I和方法II的优点。

2.在[1]中，已经明确假设训练数据满足