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中学生平行线与相交线习题

几何学是一门充满逻辑与美感的学科，而“平行线与相交线”作为平面几何的入门知识，不仅是后续学习三角形、四边形等复杂图形的基础，更是培养同学们逻辑推理能力和空间想象能力的关键一环。掌握好这部分内容，需要清晰理解基本概念，熟练运用性质与判定，并能灵活解决实际问题。本文将精选若干典型习题，并辅以细致解析，希望能帮助同学们夯实基础，提升解题能力。

一、核心知识梳理

在进入习题之前，我们先来简要回顾一下平行线与相交线的核心知识点，这是解决所有相关问题的“钥匙”。

1.相交线：

*对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角。对顶角相等。

*邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。邻补角互补（和为180°）。

*垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

2.平行线：

*定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

*平行公理及其推论：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

*平行线的性质：（前提是两直线平行）

*同位角相等；

*内错角相等；

*同旁内角互补。

*平行线的判定：（由角的关系得到线平行）

*同位角相等，两直线平行；

*内错角相等，两直线平行；

*同旁内角互补，两直线平行。

二、习题精选与解析

（一）概念辨析与基础计算

例1：判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1)不相交的两条直线叫做平行线。

(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

解析：

(1)错误。理由：必须强调“在同一平面内”。在空间中，不相交的直线可能异面。

(2)错误。理由：必须强调“过直线外一点”。若该点在已知直线上，则无法作出与已知直线平行的直线，它们是重合的。

(3)错误。理由：必须强调“两条平行直线”被第三条直线所截，同位角才相等。若两条直线不平行，同位角不一定相等。

例2：如图1，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数。

（*此处应有图1：描述为直线AB与CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，OF是一条射线，使得∠FOC为直角，∠1为∠BOC，度数40°*）

解析：

首先，我们要明确各个角的位置关系。

因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOB=∠COD=180°（平角定义）。

已知∠FOC=90°，∠1=∠BOC=40°。

因为∠3与∠FOC、∠1共同构成平角∠AOB（或∠COD），所以∠3=∠AOB-∠FOC-∠1=180°-90°-40°=50°。（或者，∠3=∠AOD（对顶角相等，∠AOD=∠BOC=40°？不，不对，∠AOD的对顶角是∠BOC吗？不，∠AOD的对顶角是∠BOC的邻补角。∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC是对顶角。啊，对！所以∠AOD=∠BOC=∠1=40°？不，题目说∠1=40°，如果∠1是∠BOC，那么∠AOD=∠BOC=40°。那么∠3是什么角呢？根据描述，OE平分∠AOD，那么∠2应该是∠AOE或∠EOD。而∠3可能是∠BOF？因为∠FOC=90°，∠BOC=40°，所以∠BOF=∠FOC-∠BOC=90°-40°=50°。这样就通顺了。所以∠3是∠BOF=50°。）

因为OE平分∠AOD，且∠AOD=∠1=40°（对顶角相等），所以∠2=∠AOD/2=40°/2=20°。

故∠2的度数是20°，∠3的度数是50°。

（二）平行线的性质与判定综合应用

例3：如图2，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F。

（*此处应有图2：描述为直线AD与BE、CF分别相交，形成∠1和∠2（可能是同位角或内错角，用于判定BD//CE），∠C在直线CF上，∠D在直线AD上，∠A在直线AD与AB交点处，∠F在直线CF与EF交点处*）

解析：

要证明∠A=∠F，通常可以通过证明直线AC//DF，利用平行线的性质（内错角相等或同位角相等）得到。

证明：

∵∠1=∠2（已知），

又∵∠1=∠3（对顶角相等，假设∠3是∠2的对顶角且与∠1是同位角或内错角，用于判定BD//CE），

∴∠2=∠3（等量代换）。

∴BD//CE（同位角相等，两直线平行）。

∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）。

又∵∠C=∠D（已知），

∴∠ABD=∠D（等量