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2025年密度函数题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,0\leqx\leq1\\0,其他\end{cases}\)，则\(P(0.2\ltX\lt0.5)\)等于（）

A.0.21B.0.25C.0.4D.0.6

2.已知连续型随机变量\(X\)的概率密度函数\(f(x)=ke^{-x^2}\)，\(-\infty\ltx\lt+\infty\)，则\(k\)的值为（）

A.\(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\)B.\(\frac{1}{\pi}\)C.\(\sqrt{\pi}\)D.\(\pi\)

3.设随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}ax+b,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{1}{3}\)，则\(a\)，\(b\)的值分别为（）

A.\(a=-2\)，\(b=2\)B.\(a=2\)，\(b=-2\)C.\(a=-1\)，\(b=1\)D.\(a=1\)，\(b=-1\)

4.若随机变量\(X\)的概率密度函数\(f(x)\)满足\(f(-x)=f(x)\)，\(x\inR\)，\(F(x)\)是\(X\)的分布函数，则对任意实数\(a\)有（）

A.\(F(-a)=1-\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(F(-a)=\frac{1}{2}-\int_{0}^{a}f(x)dx\)

C.\(F(-a)=F(a)\)D.\(F(-a)=2F(a)-1\)

5.设随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{4},-1\ltx\lt3\\0,其他\end{cases}\)，则\(X\)的分布函数\(F(x)\)在\(x=2\)处的值为（）

A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.1

6.已知随机变量\(X\)的概率密度函数\(f(x)=\begin{cases}e^{-x},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}\)，则\(P(X\gt2)\)等于（）

A.\(e^{-2}\)B.\(1-e^{-2}\)C.\(e^{2}\)D.\(1-e^{2}\)

7.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)\)，且\(\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx=1\)，\(\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\frac{1}{2}\)，则\(D(X)\)为（）

A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.1

8.若随机变量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}\)（\(\theta\gt0\)），则\(E(X)\)等于（）

A.\(\theta\)B.\(2\theta\)C.\(\frac{1}{\theta}\)D.\(\frac{2}{\theta}\)

9.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}3x^2,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}\)，则\(P(X\leq\frac{1}{2})\)等于（）

A.\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{3}{8}\)

10.设随机变量\(X\)的概率密度\(f(x)\)满足\(f(x)\geq0\)，\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，则（）

A.\(0\leqf(x)\leq1\)B.\(f(x)\)是单调函数

C