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湖南大专数学题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定义域是（）

A.$x\gt1$B.$x\geq1$C.$x\lt1$D.$x\leq1$

答案：A

解析：要使根式有意义，则根号下的数大于0，即$x-1\gt0$，解得$x\gt1$。

2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）

A.11B.10C.9D.8

答案：A

解析：向量点积公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$，所以$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times4=11$。

3.函数$f(x)=x^3-3x$的单调递增区间是（）

A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,1)$C.$(1,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

答案：D

解析：对$f(x)$求导得$f^\prime(x)=3x^2-3$，令$f^\prime(x)\gt0$，即$3x^2-3\gt0$，解得$x\lt-1$或$x\gt1$。

4.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha=$（）

A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$

答案：B

解析：因为$\alpha$是第二象限角，所以$\cos\alpha\lt0$，根据$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，可得$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。

5.极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=$（）

A.0B.1C.2D.4

答案：C

解析：根据重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2$。

6.设函数$y=\lnx$，则$y^\prime=$（）

A.$\frac{1}{x}$B.$x$C.$\lnx$D.$\frac{1}{x^2}$

答案：A

解析：根据对数函数求导公式$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$。

7.直线$2x-y+3=0$的斜率为（）

A.2B.-2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$

答案：A

解析：直线方程$y=kx+b$中，$k$为斜率，将$2x-y+3=0$化为$y=2x+3$，所以斜率为2。

8.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=5$，则公差$d=$（）

A.1B.2C.3D.4

答案：B

解析：由等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，可得$a_3=a_1+2d$，即$5=1+2d$，解得$d=2$。

9.积分$\intx^2dx=$（）

A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^2+C$D.$2x+C$

答案：A

解析：根据积分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），所以$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。

10.函数$y=\sin^2x$的最小正周期是（）

A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$

答案：A

解析：$y=\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，根据余弦函数周期公式$T=\frac{2\pi}{\omega}$，这里$\omega=2$，所以周期$T=\pi$。

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列函数中，是奇函数的有（）

A.$y=x^3$