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公用设备工程师考试（公共基础）全真模拟试题及答案(2025年辽宁抚顺市)

一、数学基础

1.单项选择题

（1）设向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1,0)\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的向量积\(\vec{a}\times\vec{b}\)为（）

A.\((-3,6,5)\)B.\((-3,-6,5)\)C.\((3,-6,5)\)D.\((3,6,5)\)

答案：A

解析：根据向量积的计算公式，若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则\(\vec{a}\times\vec{b}=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)\)。将\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec{b}=(2,1,0)\)代入可得：

\(\vec{a}\times\vec{b}=((-2)\times0-1\times3,3\times2-0\times1,1\times1-2\times(-2))=(-3,6,5)\)

（2）函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的间断点是（）

A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.无间断点

答案：B

解析：间断点是指函数不连续的点。对于分式函数\(y=\frac{1}{x-1}\)，当分母\(x-1=0\)，即\(x=1\)时，函数无定义，所以\(x=1\)是函数的间断点。

（3）设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得（）

A.\(f(\xi)=0\)B.\(f(\xi)=0\)C.\(f(\xi)=f(\xi)\)D.\(f(\xi)=1\)

答案：A

解析：这是罗尔定理的内容。罗尔定理指出，如果函数\(f(x)\)满足：（1）在闭区间\([a,b]\)上连续；（2）在开区间\((a,b)\)内可导；（3）\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)。

（4）已知\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，则\(\intf(2x)dx\)等于（）

A.\(F(2x)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)C.\(2F(2x)+C\)D.\(F(\frac{x}{2})+C\)

答案：B

解析：令\(u=2x\)，则\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。所以\(\intf(2x)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x)+C\)。

（5）设\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所围成的区域，则\(\iint_Dxydxdy\)等于（）

A.\(\frac{1}{24}\)B.\(\frac{1}{12}\)C.\(\frac{1}{6}\)D.\(\frac{1}{3}\)

答案：A

解析：先确定积分区域\(D\)的范围：\(0\leqx\leq1\)，\(0\leqy\leq1-x\)。则\(\iint_Dxydxdy=\int_0^1xdx\int_0^{1-x}ydy\)。

先计算\(\int_0^{1-x}ydy=\frac{1}{2}y^2\big|_0^{1-x}=\frac{1}{2}(1-x)^2\)。

再计算\(\int_0^1x\cdot\frac{1}{2}(1-x)^2dx=\frac{1}{2}\int_0^1x(1-2x+x^2)dx=\frac{1}{2}\int_0^1(x-2x^2+x^3)dx\)

\(=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4)\big|_0^1=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4})=\frac{1}{24}\)。

2.填空题

（1）已知向量\(\vec{a}=(2,-1,1)\)，\(\vec