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三角形“四心”的向量表示

经典原创必威体育精装版修改版

曾维勇

一、外心

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

证明外心定理

证明:设AB、BC的中垂线交于点O，

则有OA=OB=OC，

故O也在AC的中垂线上，

因为O到三顶点的距离相等，

故点O是ΔABC外接圆的圆心．

因而称为外心．

O

O

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心

的定义及性质等相关知识巧妙结合。

到

的三顶点距离相等。

故是

解析：由向量模的定义知

的外心

，选B.

O是

的外心

若

为

内一点，

则

是

的（

）

A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心

B

证明垂心定理

二、垂心

A

B

C

A

B

C

A

B

C

三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。

D

E

F

证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，

过点A、B、C分别作对边的平行线

相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′

的中垂线；同理BE、CF也分别为

A′C′、A′B′的中垂线，

由外心定理，它们交于一点，

命题得证．

A′

B′

C′

例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，

求证：AD、BE、CF相交于一点。

A

B

C

D

E

F

H

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．

证：设BE、CF交于一点H，

垂心

A

B

C

O

证：设

例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:

求证：

化简：

同理：

从而

垂心

1.O是

的垂心

是△ABC的边BC的高AD

上的任意向量，过垂心.

例3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，

动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的_______

∵

∴

∴

在△ABC的边BC的高AD上.

P的轨迹一定通过△ABC的垂心.

所以，

时，

解:

解:

例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点，

若，

则点O是ΔABC的（）

（A）三个内角的角平分线的交点

（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点

（D）三条高线的交点

则O在CA边的高线上,

同理可得O在CB边的高线上.

D

垂心

(2005湖南)P是△ABC所在平面上一点，若

则P是△ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

1

D

2

解:

3

故P是△ABC的垂心.

4

三、重心

A

B

C

A

B

C

A

B

C

三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

证明重心定理

E

F

D

G

3.O是

的重心

为

的重心.

是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.

2.在

中，给出

等于已知AD是

中

BC边的中线;

5.

已知O为△ABC内的一点，且

证明:

连结OE，则OD=DE，BD=DC，

作平行四边形OBEC.

∵D是BC的中点，

AD为BC边上的中线.

故O为△ABC的重心.

求证：O为△ABC的重心.

练一练:

E

D

O

A

C

B

∴OE与OA共线.

例1．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心

证明:

∵G是△ABC的重心

即

由此可得

（反之亦然（证略））

思考：若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则

O为△ABC的内心、垂心呢？

想想看？

例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．

证明:

A

B

C

E

F

D

G

重心

B

01

2009年海南、宁夏理数卷的第9题:

02

C

例4.

A

Q

B

A

C

G

也可特取正三角形！

B

四、内心

A

B

C

A

B

C

A