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2025年线代2025试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert-2A\vert\)的值为（）

A.-16B.16C.-4D.4

2.向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1),\alpha_4=(1,1,1)\)的秩为（）

A.1B.2C.3D.4

3.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2-A=0\)，则\(A\)的特征值为（）

A.0B.1C.0或1D.2

4.设\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则必有（）

A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)

C.\(A+B=0\)D.\((A-B)^2=A^2+B^2\)

5.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=0\)只有零解的充分必要条件是（）

A.\(m\geqn\)B.\(m=n\)C.\(r(A)=m\)D.\(r(A)=n\)

6.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为（）

A.\(\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}42\\31\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)

7.若向量\(\alpha=(1,k,2)\)与向量\(\beta=(2,-1,1)\)正交，则\(k\)的值为（）

A.4B.2C.-4D.-2

8.设\(A\)为正交矩阵，则\(A^TA\)等于（）

A.\(0\)B.\(I\)C.\(2I\)D.\(A\)

9.已知矩阵\(A\)的一个特征值为\(\lambda=3\)，对应的特征向量为\(\xi\)，则\(A^2\xi\)等于（）

A.\(3\xi\)B.\(6\xi\)C.\(9\xi\)D.\(12\xi\)

10.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(k\)为非零常数，则\((kA)^{-1}\)等于（）

A.\(kA^{-1}\)B.\(\frac{1}{k}A^{-1}\)C.\(k^{-1}A\)D.\(\frac{1}{k}A\)

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下关于矩阵运算正确的有（）

A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.若\(A\)可逆，则\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)

2.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）

A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)

B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示

C.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\lts\)

D.向量组中任何一个向量都可由其余向量线性表示

3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，以下哪些条件等价于\(A\)可逆（）

A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(Ax=0\)只有零解

C.\(A\)可表示为若干个初等矩阵的乘积

D.\(r(A)=n\)

4.已知矩阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，则（）

A.\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)

B.\(A\)的迹\(tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdo