关于输运系数依赖于温度的可压Navier-Stokes方程组波的稳定性研究.pdfVIP

摘要

摘要

双曲守恒律方程非线性波的稳定性研究可追溯到Riemann、Oleinik、Lax等著

名数学家,其一直是偏微分方程领域研究的热点.近年来,有大量的学者对一维非等

熵可压缩Navier-Stokes方程组的基本波(激波、稀疏波、接触间断)的稳定性进行了

研究.小扰动情形下的相关结果已经比较完善,对于大扰动情形的研究则主要集中

于输运系数(粘性系数、热传导系数)为常数的情形,而输运系数依赖于温度的

结果很少.但是,如果从Boltzmann方程出发,利用Chapman-Enskog展开并结合一

些物理假设,可得到非等熵可压缩Navier-Stokes方程组并发现其输运系数,满足

=¯,=¯,¯与¯为正常数.上述这类输运系数更具物理意义,=1,1,5分

22

别对应弹性球体,麦克斯韦分子,电离气体.鉴于此,本文主要研究输运系数只依赖于

温度的一维非等熵可压缩Navier-Stokes方程组的基本波稳定性.

首先,利用能量方法与初始层分析技术研究了=(),=()时,粘性

接触波与稀疏波的叠加波的稳定性,得到了一类Nishida-Smoller型结果.文中证

明了当初始扰动属于2×1×1时,如果−1适当小,则Navier-Stokes方

程组的解全局存在,且渐近趋于其对应的叠加波.随后,为了去掉上述结果中的

−1的小性,针对=¯,=¯这类更具物理意义的情形进行了研究,给出了

0≤≪1,0≤+∞时,大初值假设下的粘性接触波与稀疏波的叠加波的稳定性

定理.这一结果可视为对[HuangBK,LiaoYK.MathematicalModelsandMethods

inAppliedSciences,2017,27:2321-2379]的改进.更重要的是,本文将Huang-Liao

结果中对初值的正则性要求由3×3×3降低到了2×1×1.

得到上述Navier-Stokes方程组解的大时间行为后,一个很自然的问题是:这个

解以什么速率趋于其对应的基本波?当对应背景解为粘性接触波时,[HuangFM,

MatsumuraA,XinZP.ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis,2006,179:55-

77]与[HuangFM,XinZP,YangT.AdvancesinMathematics,2008,219:1246-1297]

1

−

首次研究了输运系数为常数的情形,得到小扰动下解的衰减速率为(1+)4.基于以

上思想,本文考虑了=(),=()情形,利用反导数变换方法降低了初值的小

1

3

−+4

性要求的同时将解的衰减速率优化为(1+)8,这里≪1为波强.更进一步