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九年级数学相似三角形复习导学案

同学们，相似三角形是我们初中几何的重要组成部分，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决几何计算与证明问题的有力工具，在中考中也占据着举足轻重的地位。这份导学案旨在帮助大家系统梳理相似三角形的核心知识，巩固基本技能，提升解题能力。希望大家能沉下心来，认真回顾，积极思考，力争在原有基础上有所突破。

一、知识回顾与梳理

在开始复习之前，我们先来回顾一下相似三角形的基本概念、判定方法及主要性质，这是解决一切相似问题的基石。

（一）相似图形与相似三角形的定义

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形。注意，这里只强调形状，不强调大小。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，△ABC与△DEF相似，可记作△ABC∽△DEF。

*关键点：“对应”二字至关重要，无论是角还是边，必须明确其对应关系。

*相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。若△ABC与△DEF的相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1/k。当相似比为1时，两个三角形全等，所以全等是相似的特殊情况。

（二）相似三角形的判定方法

判定两个三角形相似，是我们解决相似问题的首要步骤。大家需要熟练掌握以下几种判定方法，并能灵活运用。

1.定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（此方法作为基础理解，但不常用作判定依据，因为需要同时验证角和边，较为繁琐。）

2.平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（这是一个非常重要的判定方法，常作为我们寻找相似三角形的“引路人”。）

3.判定定理1（SSS型）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。即：若AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。

4.判定定理2（SAS型）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。即：若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则△ABC∽△DEF。

*注意：这里的“夹角”必须是两组对应边的夹角，不可错用成其中一边的对角。

5.判定定理3（AA型）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。即：若∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF。

*推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。（“双垂直”模型）

6.直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（HL型相似）

（三）相似三角形的性质

一旦我们判定了两个三角形相似，就可以利用它们的性质来解决问题了。相似三角形的性质主要体现在“对应”二字上。

1.对应角相等：相似三角形的对应角相等。即若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。即若△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF=k（k为相似比）。

3.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

*即：若△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC、EF边上的高（或中线或角平分线），则AM/DN=k。

4.周长比等于相似比：相似三角形的周长比等于相似比。即C△ABC/C△DEF=k。

5.面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积比等于相似比的平方。即S△ABC/S△DEF=k2。

*注意：面积比是相似比的“平方”，这一点极易出错，务必牢记。

（四）相似三角形的应用

相似三角形的应用十分广泛，主要包括：

1.测量不能直接到达的物体的高度或宽度：如利用标杆、影子、镜面反射等构造相似三角形求解。

2.解决实际生活中的几何问题：如坡度、坡角相关问题，图形放大与缩小等。

3.与函数、圆等知识结合：综合运用相似知识解决更复杂的数学问题。

在应用时，关键在于从实际问题中抽象出几何模型，准确找到相似三角形，并运用其性质求解。

二、典例精析

下面我们通过几个典型例题来巩固所学知识，体会解题思路与方法。

例1：（相似三角形的判定）

已知：如图，在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD，AB=4，AC=5，AE=2，AD=2.5。

求证：△ABC∽△AED。

分析：要证△ABC∽△AED，已知一组对应角∠BAC=