复变函数详细讲解.pptVIP

浙江大学同理可以得到得证。第29页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学例：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y=－x。（2）设z=x+iy,第30页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学（3）表示实轴方向与由点i到z的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自i点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括i点）（4）第31页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学例：指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有第32页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学浙江大学复变函数详细讲解第1页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数第六章保角映射第七章Laplace变换第2页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学第一章复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续第3页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学复数及其代数运算a)复数：一对有序实数（x,y），记为z=x+iy规定：第4页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学b)按上述定义容易验证加法交换律、结合律乘法交换律、结合律和分配律均成立。第5页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学c)共轭复数：互为共轭复数容易验证第6页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学d)复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P复数z=x+iyxyz=x+iyO实轴、虚轴、复平面Z平面、w平面第7页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学e)复数的几种表示法几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。xyO加法运算第8页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学xyO减法运算第9页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数z，则复数z可表示为三角式：指数式：复数的模复数的幅角第10页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学讨论：复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把的幅角称为Argz的主值。记为2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。3）当r=1时，复数z称为单位复数。利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。第11页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学设定理注意多值性xyO第12页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学指数形式表示推广至有限个复数的乘法第13页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学除法运算或者第14页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学例：已知正三角形的两个顶点为求三角形的另一个顶点。xyO第15页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学复数的乘幂n个相同复数z的乘积成为z的n次幂复数的方根设为已知复数，n为正整数，则称满足方程的所有w值为z的n次方根，并且记为第16页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学设则即第17页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：第18页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学例：即第19页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学复球面与无穷远点zPN球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。P对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。第20页，共45页，星期日，2025年，2月5日浙江大学从几何上可以看出：Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无