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基于Poincaré映射与Melnikov函数的四维拟Hamilton系统周期解研究

1.绪论

1.1研究背景与意义

高维拟Hamilton系统周期解的研究及在工程中的应用，是当今国际动力学与控制领域中的疑难和前沿课题。在众多实际工程问题里，大型空间中的相关问题常可用拟Hamilton系统来描述，并且其中很多属于高维扰动Hamilton系统。例如在航天领域，随着航天事业的不断发展，对大型环形桁架的需求日益增长，然而天线机构存在折展比大、刚度高且易缠绕等特殊情况。我国高度重视大型天线所涉及的力学分析与控制、设计、材料和制造等方面的问题，可针对此类天线目前还没有相对成熟的研究方法，在考虑热激励幅值、太空特殊环境（如真空、超低温、微重力、强辐射等）及其他影响因素作用下，大型空间环形天线扭转与呼吸运动及环型桁架卫星天线呼吸振动下的非线性动力学行为，成为亟待解决的难题。

在动力学与控制领域，高维拟Hamilton系统周期解的研究对理解复杂动力系统的行为至关重要。通过研究周期解的存在性，可以深入了解系统在不同条件下的运动特性，为系统的稳定性分析和控制提供基础。在实际工程应用中，准确判断系统是否存在周期解，以及确定周期解的个数和性质，对于优化系统设计、提高系统性能具有重要意义。例如，在卫星天线的设计中，了解其在不同工况下的周期解情况，有助于避免共振等不良现象的发生，确保天线的稳定运行。

研究4维拟Hamilton系统具有重要的必要性。4维系统在数学模型中具有一定的代表性，它既包含了低维系统所不具备的复杂性，又相对高维系统在研究难度上具有一定的可操作性。许多实际工程问题可以简化为4维拟Hamilton系统进行研究，通过对4维系统的深入研究，可以为解决更复杂的高维系统问题提供思路和方法，同时也能为实际工程问题的解决提供更直接的理论支持。

1.2国内外研究现状

高维扰动拟Hamilton系统周期运动的存在性一直是国内外学者关注的重要研究内容。动力系统随时间不断变化，通常可用非线性动力学方程表示，高维拟Hamilton系统周期解的研究已成为高维动力系统研究的重要组成部分。目前，针对低维拟Hamilton系统的周期解存在性研究已较为深入，但高维非线性动力系统周期解的研究难度较大，在理论及方法上都有待进一步发展。

国内外学者对于高维非线性动力系统周期解存在性的研究，最常用的方法之一是Melnikov函数法。1982年，Holmes和Marsden主要利用KAM理论和Melnikov方法，研究了两类系统在非固定参数扰动下的周期解存在性问题。1992-1995年，Kovacic运用Melnikov方法和几何奇异摄动理论，对4维Hamilton系统周期解存在性问题展开研究，并给出了创新性结论。1999年，Yagasaki推广了传统的Melnikov方法，用于研究多自由度运动屈曲梁系统在周期扰动下的周期解问题，同年又进一步推广次谐Melnikov方法，研究了周期轨道的同宿Melnikov方法，还将Melnikov方法进一步推广，研究由两个相互独立的平面Hamilton系统构成的4维扰动系统周期解的存在性。

除Melnikov函数法外，还有其他多种方法被应用于该领域的研究。2004年，Buica和Llibre利用基于Brouwer度理论的拓扑方法，研究小参数扰动下动力系统周期解存在性问题。2005年，Liu和Han分析了三维系统在不变环面下的动力学行为，并得到周期解存在的条件。2006年，Llibre和Wu借助Hopf分岔原理，研究了一类3维受扰动力系统分岔产生的极限环个数问题。2009年，刘宣亮和孟笑莹利用Poincare映射等方法，研究了一类在周期扰动下的3维系统的分岔问题，得到周期解分岔产生次调和解的条件。2011年，Buzzi和Lima等主要用平均法研究了一类4维微分动力系统极限环分岔的条件及个数上界存在理论，并利用该方法得到了其系统具体的个数上界。2011年，Sarkar和Bhattacharjee用重正化群理论研究2维非自治动力系统周期解存在性。2012年，Buica等运用平均方法、Lyapunov-Schmidt简化方法研究了一类非自治扰动系统T-周期解问题。2013年，Li等利用广义Melnikov方法研究了在非线性项作用下动力系统周期存在性。2014年，Llibre等运用Brouwer理论研究了向量场在小参数扰动下微分系统T-周期解存在性问题，并将理论研究应用于平面系统并验证了结论正确性。2014年，So