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上海高中新教材数学期末复习讲义

同学们，期末的脚步日益临近，数学复习的任务也随之而来。这份讲义旨在帮助大家系统梳理本学期新教材中的核心知识模块，明确重点与难点，掌握有效的解题思路与方法，最终在期末考试中取得理想成绩。复习不仅仅是简单的重复，更是对知识的深化理解与灵活运用能力的提升。希望大家能结合自身情况，合理规划时间，高效复习。

一、函数的概念与基本性质：构建数学思维的基石

函数是高中数学的核心内容，贯穿于整个高中阶段。对函数概念的深刻理解和性质的熟练掌握，是学好后续数学知识的基础。

1.1函数的定义与三要素

*核心知识点：函数的定义（定义域A到值域B的非空数集映射，强调唯一性），定义域、对应法则、值域是函数的三要素。

*要点回顾：

*定义域：求解时需考虑分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零、零次幂的底数不为零等基本情形，同时也要注意实际问题中的隐含条件。

*对应法则：理解符号f(x)的含义，能根据解析式或图像分析函数关系。

*值域：常用方法有观察法、配方法、换元法、判别式法（慎用）、利用函数单调性等。明确定义域是求值域的前提。

*典型问题：判断两个函数是否为同一函数；根据函数解析式求定义域和值域。

1.2函数的基本性质

*核心知识点：单调性、奇偶性、最值。

*要点回顾：

*单调性：定义法证明单调性的步骤（取值、作差/作商、变形、定号、下结论）；会根据函数图像判断单调性；理解单调区间的书写规范（不能用并集符号连接不连续的单调区间）。复合函数的单调性“同增异减”规律（注意内层函数值域与外层函数定义域的衔接）。

*奇偶性：定义是判断函数奇偶性的唯一依据。首先要检查定义域是否关于原点对称，这是前提。奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。若函数既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0（定义域关于原点对称）。

*最值：理解函数最大值与最小值的定义，掌握利用单调性、图像、基本不等式等求函数最值的方法。

*典型问题：利用单调性比较大小、解不等式；利用奇偶性求参数、简化函数求值；结合单调性与奇偶性研究函数图像和性质。

1.3基本初等函数（I）：一次函数、二次函数、幂函数

*核心知识点：一次函数的图像与性质；二次函数的图像（开口方向、对称轴、顶点坐标）与性质（单调性、最值）；幂函数的定义、图像特征（结合具体幂函数如y=x,y=x2,y=x3,y=x^(-1),y=x^(1/2)等进行理解）。

*要点回顾：

*二次函数：是重中之重。要熟练掌握三种解析式（一般式、顶点式、两根式）及其相互转化。关注二次函数在指定区间上的最值问题，尤其注意对称轴与区间的位置关系。二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系与转化（三个“二次”问题）。

*幂函数：重点掌握其定义域、奇偶性、单调性，并能画出简单幂函数的图像。

*典型问题：二次函数的最值应用；与二次函数相关的恒成立问题、存在性问题；利用幂函数的性质比较大小。

二、数列：探索规律，掌握递推与求和

数列是一类特殊的函数，也是培养逻辑推理能力的重要载体。从具体数列中归纳规律，运用公式解决问题是数列学习的核心。

2.1数列的概念与表示方法

*核心知识点：数列的定义；数列的通项公式与递推公式；数列的前n项和。

*要点回顾：理解数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的函数。通项公式是数列的核心，表示第n项与项数n之间的关系。递推公式是给出数列的另一种重要方式，能反映数列的生成规律。前n项和S?与通项a?的关系：a?=S?；当n≥2时，a?=S?-S???。

*典型问题：根据数列的前几项归纳通项公式；由递推公式求数列的项或通项公式（如累加法、累乘法）；已知前n项和求通项。

2.2等差数列与等比数列

*核心知识点：等差数列的定义、通项公式、前n项和公式；等比数列的定义、通项公式、前n项和公式。

*要点回顾：

*等差数列：定义式a???-a?=d（常数）。通项公式a?=a?+(n-1)d，可推广为a?=a?+(n-m)d。前n项和公式S?=n(a?+a?)/2=na?+n(n-1)d/2。中项性质：若m+n=p+q，则a?+a?=a?+a_q。

*等比数列：定义式a???/a?=q（常数，q≠0）。通项公式a?=a?q^(n-1)，可推广为a?=a?q^(n-m)。前n项和公式S?=a?(1-q?)/(1-q)(q≠1)，S?=na?(q=1)。注意等比数列求和公