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七年级数学变量关系同步辅导资料

七年级数学变量关系同步辅导：从情境到应用

一、走进变化的世界——认识变量与常量

在我们的日常生活中，变化无处不在。汽车行驶的路程随着时间的增加而变长，购买铅笔的总价随着购买数量的增多而增加，一杯热水的温度随着放置时间的延长而降低……这些现象中都包含着一些可以取不同数值的量和保持固定数值的量。

1.1变量与常量的定义

变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量（variable）。

常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量（constant）。

1.2辨识变量与常量

例题分析：

1.汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时。

在这个过程中，速度60千米/小时是常量；

路程s和时间t是变量，因为s的值会随着t的变化而变化。

2.一个长方形的长为5cm，宽为bcm，面积为Scm2。

长5cm是常量；

宽b和面积S是变量，S的值依赖于b的取值。

思考与实践：

请判断下列问题中的变量与常量：

圆的半径r和它的面积S。（提示：圆的面积公式为S=πr2）

小明带了50元钱去买笔记本，每个笔记本单价a元，购买的本数为n本，剩余的钱为m元。

二、变量之间的依赖关系——自变量与因变量

在两个相互关联的变量中，一个变量的变化往往会引起另一个变量的变化。我们把其中一个主动变化的变量称为自变量，而随着自变量的变化而发生变化的变量称为因变量。

2.1自变量与因变量的概念

自变量：在一个变化过程中，我们主动改变其取值的变量，通常用x表示。

因变量：随着自变量的变化而变化的变量，其值依赖于自变量，通常用y表示。

2.2辨析自变量与因变量

关键在于判断因果关系或依赖关系：

如果说“y随着x的变化而变化”，那么x是自变量，y是因变量。

在实际问题中，要根据具体情境判断哪个量是主动变化的，哪个量是随之变化的。

例题分析：

1.一个游泳池内有水1000立方米，现以每分钟20立方米的速度往外排水，设排水时间为t分钟，池内剩余水量为Q立方米。

这里，排水时间t是自变量（主动变化）；

剩余水量Q是因变量（随着t的变化而变化）。

2.某种练习本每本2元，购买x本练习本的总价为y元。

购买数量x是自变量；

总价y是因变量，y随着x的变化而变化。

小试牛刀：

在“正方形的边长a和面积S”的关系中，哪个是自变量，哪个是因变量？为什么？

三、表示变量之间的关系——三种常用方法

变量之间的关系是丰富多彩的，我们可以通过多种方式来清晰地表示它们。七年级阶段，我们主要学习三种方法：表格法、关系式法和图像法。

3.1表格法——直观呈现数据

定义：通过列表格的方式，将自变量的一系列取值与对应的因变量的值一一对应地表示出来。

优点：能直接看出自变量取某些特定值时，因变量的对应值。

局限性：难以全面反映变量间的整体变化趋势，且自变量的取值有限。

例题：某城市某天的气温变化情况如下表所示：

|时间（时）|6|8|10|12|14|16|18|

|温度（℃）|12|15|18|22|24|20|17|

表格中，时间是自变量，温度是因变量。

从表格中可以直接读出：例如10时的温度是18℃，14时的温度最高为24℃。

实践应用：

根据上述表格，回答：

哪个时间段温度在上升？哪个时间段温度在下降？

8时到12时，温度上升了多少度？

3.2关系式法——精确描述规律

定义：用数学式子（等式）来表示自变量与因变量之间的数量关系，这种式子通常叫做关系式（也叫函数表达式，但七年级阶段暂不严格强调“函数”概念）。

优点：能精确地反映变量之间的数量依存关系，给定自变量的值，可以通过计算求出唯一确定的因变量的值。

关键：找到因变量是如何由自变量通过运算得到的。

例题：

1.上述购买练习本的问题：每本2元，总价y（元）与数量x（本）的关系式为：y=2x。

这里，x是自变量，y是因变量。

当x=5时，y=2×5=10（元）。

2.正方形的面积S与边长a的关系式为：S=a2。

当a=3时，S=32=9。

书写规范：

通常等式左边是因变量，右边是关于自变量的代数式。

要注明自变量的取值范围（使实际问题有意义的范围）。例如，购买练习本的数量x不能为负数，也不能是分数（如果本子不拆分卖）。

巩固练习：

一个三角形的底边长为5cm，高为hcm，面积为Scm2。写出S与h之间的关系式，并求出当h=4cm时，三角形的面积。

3.3图像法——形象展示趋势

定义：用平面直角坐标系中的图形来表示变量之间的关系。通常用横轴（x轴）表示自变量，纵轴（y轴）表示因变量，将成对的变量值所对应的点描出来，再用平滑的线（或线段）连接起来，就得到了表示变量关系的图像。

优点：