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高三数学功能关系复习教案讲稿

高三数学“函数关系”复习教案讲稿

各位同学，大家好！

今天我们进入高三数学总复习中一个至关重要的模块——“函数关系”的复习。函数，作为贯穿整个高中数学的主线，其思想方法渗透在各个知识领域。可以说，对函数关系的理解深度和应用能力，直接决定了我们数学成绩的上限。因此，这一轮复习，我们不仅要回顾知识点，更要深化理解，构建体系，提升运用函数思想解决复杂问题的能力。

一、复习导入：为何函数如此重要？

在开始具体内容之前，我们先静下心来思考：函数究竟是什么？我们为什么要花这么多时间去学习它？

（稍作停顿，与学生进行眼神交流）

简单来说，函数描述的是变量之间的一种对应关系，是对现实世界中各种变化规律的数学抽象。从简单的一次函数、二次函数，到描绘增长与衰减的指数、对数函数，再到刻画周期性现象的三角函数，乃至后续更复杂的函数模型，它们都是我们分析问题、解决问题的强大工具。在高考中，函数相关的题目不仅分值占比高，而且常常作为压轴题，考查大家的综合素养。所以，我们必须给予足够的重视。

本次复习，我们的目标是：

1.系统梳理函数的核心概念、基本性质及常见函数模型。

2.深刻理解函数思想，并能运用其解决方程、不等式、最值等综合问题。

3.提升函数图像的识别与应用能力，体会数形结合的魅力。

4.总结常见题型的解题策略，强化规范表达和逻辑推理。

二、知识梳理与深化：构建函数知识网络

我们先来对函数的基础知识进行一次全面的“扫描”和“加固”。

（一）函数的基本概念：从“对应”到“三要素”

1.函数的定义：

我们知道，设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

这里，大家一定要抓住几个关键词：“非空数集”、“任意一个”、“唯一确定”。这揭示了函数的本质——一种特殊的对应关系。这种“唯一性”是判断是否为函数的核心标准。

2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

*定义域：自变量x的取值范围。这是研究函数的前提，任何时候研究函数，都必须首先考虑定义域！求定义域，我们要关注分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，以及实际问题中的意义等。

*对应关系：即f，它是函数的核心，描述了x如何对应到y。可以是解析式、图像、表格或文字描述。理解对应关系，要能准确把握“谁是自变量”，以及函数的运算（如加减乘除、复合等）。

*值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}。求值域要基于定义域和对应关系，常用方法有：观察法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法等。

三者关系：定义域和对应关系确定后，值域随之确定。因此，判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否完全一致。

（二）函数的基本性质：函数的“性格特征”

函数的性质是我们描述函数、比较函数、应用函数的重要依据，也是高考的重点考查内容。

1.单调性：函数在某个区间上的增减趋势。

*定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D?I。如果对于任意的x?,x?∈D，当x?x?时，都有f(x?)f(x?)（或f(x?)f(x?)），则称f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

*判断与证明：定义法（取值、作差/作商、变形、定号、下结论）是通法，适用于证明；对于具体函数，图像法、导数法（导数大于零增，小于零减）更为便捷。复合函数的单调性遵循“同增异减”原则。

*应用：比较大小、解不等式、求最值、判断方程根的个数等。

2.奇偶性：函数图像的对称性。

*定义：设函数f(x)的定义域关于原点对称。如果对于任意x∈定义域，都有f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数。

*关键点：定义域关于原点对称是前提！若定义域不关于原点对称，则函数既非奇也非偶。

*图像特征：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。

*性质：奇函数在原点有定义时，f(0)=0；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数则相反。

*判断方法：定义法、图像法、性质法（奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇等，注意定义域）。

3.周期性：函数值重复出现的性质。

*定义：设函数f(x)的定义域为I，如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈I，都有x+T∈I，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期。若存在最小的正数T，则称为最小正周期。

*常见周期函数：三角函数（如si