邦达数学选修一讲义高一升高二暑假-A4题型考点大突破之选修一讲义解析版.pdfVIP

选修一讲义

题型考点大突破

邦达数学系列讲义

基础强化提升

知识梳理巩基础

选题经典重思路

考点题型全覆盖

举一反三大突破

第一章空间向量的运算及应用

知识梳理

1、用已知向量表示未知向量的解题策略

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点

指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．

2、证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.

(1)PA=PB；

(2)对空间任一点O，OP=OA+tAB；

(3)对空间任一点O，OP=xOA+yOB(x+y=1)．

3、证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面

(1)MP=xMA+yMB；

(2)对空间任一点O，OP=OM+xMA+yMB；

(3)对空间任一点O，OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)；

PMABPAMBPBAM

(4)∥(或∥或∥)．

4、空间向量数量积计算的两种方法

(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)坐标法：设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，则a·b＝xx＋yy＋zz.

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5、空间向量数量积的三个应用

a·b

求夹角设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角

|a||b|

2

求长度(距离)运用公式|a|＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题

解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题

注：①当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；



②当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是

|ab|

(0,][0,]cos|cos|

，，所以

2|a||b|

2

③立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝a转化为向量求解．

6、空间向量的坐标运算

（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果OP=xi+yj+zk，则(x,y,z)叫做向量的坐标．

（2）设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，那么

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①a±b＝(xx,yy,zz)．

121212

xx+yy+zz

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